[论文解读] Partially ordered patterns and compositions

Silvia Heubach, Sergey Kitaev+1 more|ArXiv.org|Oct 1, 2006

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 16被引用 8

一句话总结

本文引入并分析了整数 compositions 中的偏序模式（POPs），将先前关于排列和词中模式避免的研究扩展至 compositions 领域。通过生成函数方法与多模式避免技术，推导出在 compositions 中非重叠出现次数最大值的 q-类生成函数，将 Kitaev（2006）与 Kitaev 和 Mansour（2006）在词中的结果推广至 compositions 设置。

ABSTRACT

A partially ordered (generalized) pattern (POP) is a generalized pattern some of whose letters are incomparable, an extension of generalized permutation patterns introduced by Babson and Steingrimsson. POPs were introduced in the symmetric group by Kitaev [Partially ordered generalized patterns, Discrete Math. 298 (2005), 212-229; Introduction to partially ordered patterns, Discrete Appl. Math., to appear], and studied in the set of $k$-ary words by Kitaev and Mansour [Partially ordered generalized patterns and $k$-ary words, Annals of Combinatorics 7 (2003) 191-200]. Moreover, Kitaev et al. [S. Kitaev, T. McAllister and K. Petersen, Enumerating segmented patterns in compositions and encoding with restricted permutations, preprint] introduced segmented POPs in compositions. In this paper, we study avoidance of POPs in compositions and generalize results for avoidance of POPs in permutations and words. Specifically, we obtain results for the generating functions for the number of compositions that avoid shuffle patterns and multi-patterns. In addition, we give the generating function for the distribution of the maximum number of non-overlapping occurrences of a segmented POP $τ$ (that is allowed to have repeated letters) among the compositions of $n$ with $m$ parts in a given set, provided we know the generating function for the number of compositions of $n$ with $m$ parts in the given set that avoid $τ$. This result is a $q$-analogue of the main result in [S. Kitaev, T. Mansour, Partially ordered generalized patterns and $k$-ary words, Annals of Combinatorics 7 (2003) 191-200].

研究动机与目标

• 将模式避免理论从排列和词扩展至 compositions，使用偏序模式（POPs）。
• 推广 compositions 中模式非重叠出现次数最大值的生成函数，类比于排列和词中的结果。
• 为 Kitaev 和 Mansour（2006）在词中主结果的 q-类形式提供新表达，现适用于 compositions。
• 建立计算避免 POPs 的 compositions 生成函数的框架，特别是针对混洗模式与多模式。

提出的方法

• 使用生成函数建模部分属于给定集合 A 的 compositions 数量，其避免某一 POP。
• 应用定理 3.7 到由 POP τ 多次连接形成的多模式，实现非重叠出现次数的生成函数推导。
• 引入一个双变量生成函数，变量为 x（对应总和 n）和 y（对应部分数 m），并额外引入参数 t 以追踪模式非重叠出现的最大次数。
• 通过递归分解与双射论证，推导出非重叠 POP 出现次数分布的闭式表达。
• 利用已知的单个 POP τ 避免的生成函数，通过有理函数表达式构建完整分布。
• 将该方法应用于下降模式（模式 12）的特定情形，得出非重叠下降次数最大值（MND）的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将偏序模式（POPs）的概念扩展至整数 compositions 的设定？
• RQ2 对于给定的 POP，特别是分段模式，其避免该模式的 compositions 数量的生成函数是什么？
• RQ3 能否为 compositions 中模式的非重叠出现次数分布推导出类 q 的表达式，类比于排列和词中的结果？
• RQ4 对于部分属于给定集合 A 的 compositions，分段 POP τ 的非重叠出现次数最大值的分布如何？
• RQ5 对于部分属于 A 的 compositions，非重叠下降次数最大值（MND）的生成函数是什么？

主要发现

• 本文推导出分段 POP τ 在 compositions 中非重叠出现次数最大值分布的 q-类生成函数，推广了 Kitaev 和 Mansour（2006）在词中定理 5.1 的结果。
• 对于任意正整数的有序集合 A 和连续模式 τ，τ-nlap(σ) 的分布生成函数为 C_τ^A(x,y) / [1 - t((y∑_{a∈A} x^a - 1)C_τ^A(x,y) + 1)]。
• 当 τ 为下降模式 12 时，MND 的生成函数显式计算为 1 / [(1−x)(1−x²) − x³t]，其关于 t 的级数展开揭示了非重叠下降的分布。
• 由 s 个 τ 的副本构成的多模式避免的生成函数，通过定理 3.7 递归表达，从而可通过生成函数运算推导出完整分布。
• 该方法成功地将避免框架从排列和词推广至 compositions，为该新语境下的 POP 避免提供了系统性方法。
• 该结果建立了分析 compositions 中 POP 非重叠出现次数的完整生成函数框架，对关键情形（如下降）给出了显式公式。