[论文解读] Simultaneous avoidance of generalized patterns

Sergey Kitaev, Toufik Mansour|ArXiv.org|May 16, 2002

semigroups and automata theory参考文献 20被引用 15

一句话总结

本文通过推导其指数生成函数，解决了同时避免广义3-模式123、231和312的排列枚举中的最后一个未解问题。此外，还通过结构分解和生成函数技术，为以特定k-模式（包括递增、递减和循环移位）开头或结尾的、避免特定广义3-模式的排列，提供了生成函数和精确公式。

ABSTRACT

In [BabStein] Babson and Steingr\'ımsson introduced generalized permutation patterns that allow the requirement that two adjacent letters in a pattern must be adjacent in the permutation. In [Kit1] Kitaev considered simultaneous avoidance (multi-avoidance) of two or more 3-patterns with no internal dashes, that is, where the patterns correspond to contiguous subwords in a permutation. There either an explicit or a recursive formula was given for all but one case of simultaneous avoidance of more than two patterns. In this paper we find the exponential generating function for the remaining case. Also we consider permutations that avoid a pattern of the form $x-yz$ or $xy-z$ and begin with one of the patterns $12... k$, $k(k-1)... 1$, $23... k1$, $(k-1)(k-2)... 1k$ or end with one of the patterns $12... k$, $k(k-1)... 1$, $1k(k-1)... 2$, $k12... (k-1)$. For each of these cases we find either the ordinary or exponential generating functions or a precise formula for the number of such permutations. Besides we generalize some of the obtained results as well as some of the results given in [Kit3]: we consider permutations avoiding certain generalized 3-patterns and beginning (ending) with an arbitrary pattern having either the greatest or the least letter as its rightmost (leftmost) letter.

研究动机与目标

• 完成对无内部破折号的三个3-模式的同步避免分类，解决最后一个未解问题：即同时避免123、231和312。
• 刻画以特定k-模式（如12...k、k(k-1)...1、23...k1或(k-1)...1k）开头或结尾的、避免形式为x-xy或xy-z的广义3-模式的排列。
• 通过将最大或最小元素置于开头或结尾的模式推广先前关于具有初始或最终模式约束的模式避免排列的结果。
• 利用结构分解和生成函数恒等式，为避免广义3-模式并满足初始/最终模式约束的排列，提供一个全面的生成函数框架。

提出的方法

• 通过递归分解和生成函数运算，推导出避免三个3-模式123、231和312的排列的指数生成函数（e.g.f.）。
• 使用逆序和补运算，将以某模式开头的排列与以相关模式结尾的排列联系起来，实现基于对称性的简化。
• 应用结构分解：对于以递减或递增子串结尾的排列，将排列分离为独立避免某些模式的前缀和后缀部分。
• 建立此类排列数量的递推关系，如 $ B_{n+1,k} = inom{n}{i} B_{i,k} + inom{n}{k-1} $，并利用指数生成函数求解。
• 利用已知的模式避免排列结果（例如避免1-3-2），通过反转和补运算，推导出新的生成函数。
• 使用涉及 $ e^{e^x} $ 和 $ e^{-e^t + t} $ 的积分表示，表达以递减k-模式开头并避免3-12或3-21的排列的生成函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 同时避免广义3-模式123、231和312的排列的指数生成函数是什么？
• RQ2 以特定k-模式（如12...k或k(k-1)...1）开头并避免广义3-模式x-xy或xy-z的排列数量是多少？
• RQ3 避免广义3-模式并以k-模式开头的排列数量如何依赖于初始段中最大或最小元素的位置？
• RQ4 能否将关于以k-模式开头的排列的结果推广，以包含最大或最小元素位于末尾或开头的模式？
• RQ5 避免3-12并以递减k-模式开头的排列的生成函数是什么？

主要发现

• 推导出同时避免123、231和312的排列的指数生成函数，完成了对三个3-模式同步避免的分类。
• 对于以模式 $12\ldots k$ 开头并避免 $2-31$ 的排列，其指数生成函数为 $x^k C^2(x)$，其中 $C(x)$ 是卡塔兰数的生成函数。
• 避免 $2-31$ 并以 $(k-1)(k-2)\ldots 1k$ 开头的排列数量为 $C_{n-(k-1)}$（当 $n \geq k$ 时），否则为0。
• 对于避免 $3-12$ 并以递减k-模式开头的排列，其指数生成函数为 $\left(e^{e^x}/(k-1)\right) \int_0^x t^{k-1} e^{-e^t + t} dt$（当 $k \geq 2$ 时），而当 $k=1$ 时为 $e^{e^x - 1}$。
• 避免 $3-21$ 并以 $(k-1)(k-2)\ldots 1k$ 开头的排列数量在 $k \geq 4$ 时为零，当 $k=2,3$ 时由同一积分生成函数给出，当 $k=1$ 时为 $e^{e^x - 1}$。
• 定理28通过证明以 $\Gamma_k^{\min}$ 或 $\Gamma_k^{\max}$ 中模式开头的排列的生成函数在补运算和模式对偶下相等，推广了关于 $3-12$ 和 $3-21$ 避免的结果，得到一个统一表达式，涉及 $e^{e^x}$ 和一个积分。