[论文解读] Partition dimension and strong metric dimension of chain cycle

Talmeez Ur Rehman, Naila Mehreen|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2020

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文确定了通过按顺序连接偶数或奇数环形成的链式环的划分维数和强度量维数。通过使用强解析图和顶点覆盖理论，推导出精确公式，表明强度量维数等于强解析图的顶点覆盖数，且闭式表达式取决于环的奇偶性和大小。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected graph with vertex set $V(G)$ and edge set $E(G)$. For an ordered $k$-partition $Π=\{Q_1,\ldots,Q_k\}$ of $V(G)$, the representation of a vertex $v \in V(G)$ with respect to $Π$ is the $k$-vectors $r(v|Π)=(d(v,Q_1),\ldots,d(v,Q_k))$, where $d(v,Q_i)$ is the distance between $v$ and $Q_i$. The partition $Π$ is a resolving partition if $r(u|Π) eq r(v|Π)$, for each pair of distinct vertices $u,v \in V(G)$. The minimum $k$ for which there is a resolving $k$-partition of $V(G)$ is the partition dimension of $G$. A vertex $w\in V(G)$ strongly resolves two distinct vertices $u,v \in V(G)$ if $u$ belongs to a shortest $v-w$ path or $v$ belongs to a shortest $u-w$ path. An ordered set $W=\{w_{1},\ldots, w_{t}\}\subseteq V(G)$ is a strong resolving set for $G$ if for every two distinct vertices $u$ and $v$ of $G$ there exists a vertex $w\in W$ which strongly resolves $u$ and $v$. A strong metric basis of $G$ is a strong resolving set of minimal cardinality. The cardinality of a strong metric basis is called strong metric dimension of $G$. In this paper, we determine the partition dimension and strong metric dimension of a chain cycle constructed by even cycles and a chain cycle constructed by odd cycles.

研究动机与目标

• 确定由偶数或奇数环组成的链式环的划分维数。
• 计算通过依次连接环形成的链式环的强强度量维数。
• 基于环的奇偶性和大小，建立强强度量维数的精确公式。
• 应用强解析图与顶点覆盖等价性，推导出结果。

提出的方法

• 通过在连续环之间识别顶点来构建链式环。
• 定义链式环的强解析图，其中若两点位于最短路径上，则互为最大距离。
• 应用定理1.1，将强强度量维数等同于强解析图的顶点覆盖数。
• 通过分析每个环中形成的路径，识别强解析图中的最小顶点覆盖。
• 使用向下取整和向上取整函数，计算长度为n−1或n−2的路径的最优顶点覆盖大小。
• 基于环类型（偶数/奇数）及其在链中的位置，推导出强强度量维数的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 由偶数环构成的链式环的划分维数是多少？
• RQ2 由奇数环构成的链式环的划分维数是多少？
• RQ3 链式环的强强度量维数如何依赖于其组成环的奇偶性和大小？
• RQ4 是否能通过强解析图的顶点覆盖数来计算此类链式环的强强度量维数？
• RQ5 由m个奇数环组成的链式环（每个环大小至少为5）的强强度量维数的精确公式是什么？

主要发现

• 由m个奇数环组成的链式环（每个环大小n_i ≥ 5）的强强度量维数为 m−1 + ⌊n₁/2⌋ + ⌊nₘ/2⌋ + Σᵢ₌₂^{m−1} ⌊(nᵢ−2)/2⌋。
• 由偶数环构建的链式环的划分维数通过分辨划分确定，但摘要中未显式计算其确切值。
• 由奇数环构成的链式环的强强度量维数等于其强解析图的顶点覆盖数，依据定理1.1。
• 对于奇数环，强解析图包含长度为n−1的路径（位于两端）和长度为n−2的路径（位于中间环），分别需要⌊(n−1)/2⌋和⌊(n−2)/2⌋个顶点构成覆盖。
• 强解析图中的最小顶点覆盖通过从每个环中选择特定顶点构建：v¹₁和vⁱ₂（i=2到m−1），以及沿路径间隔分布的顶点。
• 推导出的公式表明，强强度量维数随环数线性增长，随环大小呈次线性增长，且取决于奇偶性。