[论文解读] Partition Logics, Orthoalgebras and Automata

Anatolij Dvurečenskij, Sylvia Pulmannová+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 1995

semigroups and automata theory参考文献 68被引用 20

一句话总结

本文建立了基于Moore和Mealy自动机的划分逻辑与正交代数之间的形式化联系，证明了这些自动机的命题结构可通过划分测试空间自然形成具体的正交模偏序集（OMPs）。关键贡献在于划分逻辑与划分测试空间之间的一一同构，表明基于自动机的命题系统自然产生非布尔的、正交代数结构，适用于在经典计算系统中建模类似量子的互补性。

ABSTRACT

We investigate the orthoalgebras of certain non-Boolean models which have a classical realization. Our particular concern will be the partition logics arising from the investigation of the empirical propositional structure of Moore and Mealy type automata.

研究动机与目标

• 通过划分逻辑研究Moore和Mealy自动机的命题结构。
• 确定此类划分逻辑是否可嵌入正交代数或正交模偏序集（OMPs）。
• 阐明划分逻辑形成具体OMPs的条件。
• 在划分逻辑与划分测试空间之间建立形式同构。
• 证明自动机的操作性输入-输出行为可产生非经典、类似量子的逻辑结构。

提出的方法

• 将自动机状态建模为集合X的元素，输入/输出实验在X上诱导出划分。
• 定义划分测试空间(Y, T)，其中T是X的划分族，且每个T ∈ T代表一个具有互斥结果的测试。
• 将逻辑Π(Y)构造为T中元素的并集的集合，形成布尔代数的拼接。
• 通过在共同划分内的不相交并集定义正交性和正交补，确保⊥和⊕运算定义良好。
• 证明Π(Y)是OMP当且仅当当E₁ ⊥ E₂、E₂ ⊥ E₃、E₃ ⊥ E₁时，有(E₁ ∪ E₂) ∩ (E₃) = ∅。
• 通过两值权重的分离族，建立划分逻辑与划分测试空间之间的一一对应关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，划分测试空间的逻辑形成正交模偏序集（OMP）？
• RQ2 如何将Moore和Mealy自动机的命题结构形式化为非布尔逻辑？
• RQ3 划分逻辑与正交代数之间的关系是什么？
• RQ4 何时划分测试空间同构于划分逻辑？
• RQ5 自动机的操作性输入-输出行为能否生成类似量子的逻辑结构？

主要发现

• 划分测试空间(Y, T)的逻辑Π(Y)是OMP当且仅当在给定划分结构下，成对正交事件的并集仍保持正交。
• 测试空间(X, T)同构于划分测试空间当且仅当其存在一个两值权重的分离族。
• 划分逻辑与划分测试空间之间存在一一同构（模同构），建立了完全的对应关系。
• 当满足正交三元组的并集条件时，来自自动机的划分逻辑是具体的OMPs。
• 划分测试空间的逻辑同构于布尔代数的拼接，每个对应于T中的一个划分T ∈ T，且运算通过不相交并集定义。
• 该构造表明，即使底层系统是经典的，基于自动机的命题系统自然产生正交代数结构。