[论文解读] Path-dependent Hamilton-Jacobi-Bellman equation: Uniqueness of Crandall-Lions viscosity solutions

Andrea Cosso, Fausto Gozzi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 37被引用 4

一句话总结

本文建立了非马氏动态随机最优控制问题中路径依赖型哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的Crandall-Lions粘性解的唯一性。通过利用有限维投影的逼近方法以及抛物型PDE的正则性结果，作者证明了值函数是唯一的粘性解，从而在一般条件下填补了路径依赖型PDE理论中的一个关键空白。

ABSTRACT

We formulate a path-dependent stochastic optimal control problem under general conditions, for which weprove rigorously the dynamic programming principle and that the value function is the unique Crandall-Lions viscosity solution of the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation. Compared to the literature, the proof of our core result, that is the comparison theorem, is based on the fact that the valuefunction is bigger than any viscosity subsolution and smaller than any viscosity supersolution. It alsorelies on the approximation of the value function in terms of functions defined on finite-dimensionalspaces as well as on regularity results for parabolic partial differential equations.

研究动机与目标

• 在无限维控制问题中，建立路径依赖型HJB方程的Crandall-Lions粘性解的唯一性。
• 在一般条件下，严格证明路径依赖型随机最优控制问题的动态规划原理。
• 通过提供路径依赖设定下粘性解的比较定理，弥合文献中的一个空白。
• 建立一个框架，证明值函数支配所有次解，且被所有超解所支配。
• 通过函数型伊藤微积分与柱状逼近，将粘性解理论扩展至路径依赖型PDE。

提出的方法

• 构建一个具有非预测系数和逐步可测控制的路径依赖型随机最优控制问题。
• 应用函数型伊藤微积分定义水平导数与垂直导数，从而形式化路径依赖型HJB方程。
• 使用柱状逼近，通过正则化的路径式导数，将无限维值函数投影到有限维空间。
• 利用经典抛物型PDE理论与稳定性结果，建立近似值函数的正则性。
• 采用光滑变分原理与比较定理，证明值函数介于任意次解与超解之间。
• 证明随着逼近维数的增加，近似解收敛于真实值函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 路径依赖型随机控制问题的值函数能否在一般系数假设下，被唯一表征为相应HJB方程的粘性解？
• RQ2 在路径依赖型PDE的背景下，Crandall-Lions粘性解的比较原理是否成立？
• RQ3 值函数能否通过有限维PDE的解来逼近，同时保持粘性解的性质？
• RQ4 函数型伊藤微积分中的水平导数与垂直导数如何促进路径依赖型HJB方程的分析？
• RQ5 对于具有路径依赖系数的非马氏SDE，动态规划原理在何种条件下成立？

主要发现

• 在系数的一般假设下，值函数是路径依赖型HJB方程唯一的Crandall-Lions粘性解。
• 通过证明值函数大于任意粘性次解且小于任意粘性超解，建立了比较定理。
• 值函数由一系列定义在有限维空间上的函数逼近，每个函数均满足具有光滑系数的经典PDE。
• 随着逼近维数的增加，近似解在点态意义下收敛于真实值函数。
• 值函数在时间和路径空间上满足某种霍尔德型连续性条件，其模依赖于问题的利普希茨常数与时间范围。
• 在柱状逼近的极限下，粘性解性质得以保持，确保了稳定性和唯一性。