[论文解读] Pathology and asymmetry: centralizer rigidity for partially hyperbolic diffeomorphisms

Danijela Damjanović, Amie Wilkinson+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 74被引用 9

一句话总结

本文建立了具有1维中心的体积守恒部分双曲微分同胚的刚性现象：光滑、遍历的代数系统（如双曲流形上的离散化测地流或特定环面自同构）的扰动，其中心化子要么为虚拟ℤ，要么包含一个光滑流。该结果依赖于两个关键刚性机制：中心叶层上体积的勒贝格分解，以及具有横截双曲性的交换微分同胚带来的非交换刚性。

ABSTRACT

We discover a rigidity phenomenon within the volume-preserving partially hyperbolic diffeomorphisms with $1$-dimensional center. In particular, for smooth, ergodic perturbations of certain algebraic systems -- including the discretized geodesic flows over hyperbolic manifolds and certain toral automorphisms with simple spectrum and exactly one eigenvalue on the unit circle, the smooth centralizer is either virtually $\mathbb Z^\ell$ or contains a smooth flow. At the heart of this work are two very different rigidity phenomena. The first was discovered in [2,3] for a class of volume-preserving partially hyperbolic systems including those studied here, the disintegration of volume along the center foliation is either equivalent to Lebesgue or atomic. The second phenomenon is the rigidity associated to several commuting partially hyperbolic diffeomorphisms with very different hyperbolic behavior transverse to a common center foliation [25]. We introduce a variety of techniques in the study of higher rank, abelian partially hyperbolic actions: most importantly, we demonstrate a novel geometric approach to building new partially hyperbolic elements in hyperbolic Weyl chambers using Pesin theory and leafwise conjugacy, while we also treat measure rigidity for circle extensions of Anosov diffeomorphisms and apply normal form theory to upgrade regularity of the centralizer.

研究动机与目标

• 理解代数部分双曲系统（具有1维中心）的光滑中心化子的结构。
• 确定此类扰动在何时保持较大的中心化子，特别是当中心化子包含光滑流或具有高阿贝尔秩时。
• 建立一个二分法：在遍历性和光滑性假设下，中心化子要么为虚拟ℤ，要么包含一个光滑流。
• 统一两种不同的刚性机制——中心叶层上体积的勒贝格分解，以及具有横截双曲性的交换微分同胚带来的非交换刚性。

提出的方法

• 利用佩辛理论与叶层共轭，构造双曲韦伊勒腔内部分双曲元素的新型几何构造。
• 通过阿诺索夫微分同胚的圆丛的热力学形式化方法实现测度刚性。
• 使用部分双曲Livšic理论分析中心叶层上的上链刚性。
• 采用非平稳正规型控制在主导分裂存在时的正则性。
• 利用环面上保守阿贝尔作用的全局刚性结果，特别是文献[23]中的定理11，得出与线性阿诺索夫作用和旋转作用的乘积光滑共轭的结论。
• 分析双曲韦伊勒腔结构与李亚普诺夫泛函，以验证全局刚性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，体积守恒部分双曲微分同胚（具有1维中心）的光滑、遍历扰动的中心化子大于其迭代生成的群？
• RQ2 此类扰动的中心化子在何时包含一个光滑1参数流？
• RQ3 中心叶层上体积的分解性质（勒贝格型与离点型）如何与中心化子结构相互作用？
• RQ4 何种刚性机制使得中心化子在扰动下从虚拟ℤ扩展为包含光滑流？
• RQ5 中心化子结构在多大程度上可由双曲韦伊勒腔图象与交换微分同胚的李亚普诺夫泛函确定？

主要发现

• 对于负曲率流形上离散化测地流的光滑、遍历扰动，以及具有简单谱且一个特征值位于单位圆上的特定环面自同构，其光滑中心化子要么为虚拟ℤ，要么包含一个光滑流。
• 中心叶层上体积的分解要么等价于勒贝格测度，要么为离点测度，这一二分法在刚性机制中起核心作用。
• 当中心化子的阿贝尔秩ℓ₀ > 1时，若李亚普诺夫泛函满足1/2-夹紧条件，且任意一对不满足χᵢ = cχⱼ（其中c ∈ (−∞, 1/2] ∪ [2, ∞)），则其在环面因子上的作用光滑共轭于𝕋^{d−1}上的线性阿诺索夫作用与𝕋¹上的旋转作用的乘积。
• 此类扰动的中心化子具有全局刚性：若其中包含一个高阶阿贝尔群，其元素为具有横截双曲性的交换微分同胚，则系统光滑共轭于阿诺索夫作用与旋转的乘积。
• 中心化子在环面因子上的作用为𝐶∞光滑且保持体积，该正则性通过乔恩勒引理由在稳定与不稳定叶层上保持光滑正规型而推导得出。
• 中心化子作用中所有韦伊勒腔内均存在部分双曲元素，使得可应用全局刚性定理，从而得出系统光滑共轭于标准模型的结论。