[论文解读] Unstable pressure and u-equilibrium states for partially hyperbolic diffeomorphsims

Huyi Hu, Weisheng Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文通过局部不稳定叶上的动力学，为 $ C^1 $-部分双曲微分同胚引入了不稳定的压强 $ P^u(f,\varphi) $，建立了其与不稳定熵及势函数 $ \varphi $ 的积分之间的变分原理，并将 $ u $-平衡态表征为最大化器。主要贡献在于证明了 $ u $-平衡态的存在性，并将其与 Gibbs $ u $-态以及不稳定压强的可微性联系起来。

ABSTRACT

Unstable pressure and u-equilibrium states are introduced and investigated for a partially hyperbolic diffeomorphsim $f$. We define the u-pressure $P^u(f, φ)$ of $f$ at a continuous function $φ$ via the dynamics of $f$ on local unstable leaves. A variational principle for unstable pressure $P^u(f, φ)$, which states that $P^u(f, φ)$ is the supremum of the sum of the unstable entropy and the integral of $φ$ taken over all invariant measures, is obtained. U-equilibrium states at which the supremum in the variational principle attains and their relation to Gibbs u-states are studied. Differentiability properties of unstable pressure, such as tangent functionals, Gateaux differentiability and Fréchet differentiability and their relations to u-equilibrium states, are also considered.

研究动机与目标

• 通过局部不稳定叶上的动力学，为 $ C^1 $-部分双曲微分同胚定义不稳定压强 $ P^u(f,\varphi) $。
• 建立变分原理：$ P^u(f,\varphi) = \sup \{ h^u_\mu(f) + \int_M \varphi \, d\mu \} $，其中上确界取遍所有 $ f $-不变测度。
• 研究 $ u $-平衡态——即在变分原理中达到上确界的测度——及其与 Gibbs $ u $-态的关系。
• 分析不稳定压强的可微性性质（Gateaux、Fréchet）及其与 $ u $-平衡态的唯一性和切泛函的关系。

提出的方法

• 通过局部不稳定叶上 $ \varphi $-权重的渐近增长速率定义不稳定压强 $ P^u(f,\varphi) $。
• 将 Walters 的经典压强方法与 Hu-Hua-Wu 的不稳定熵框架相结合，以证明变分原理。
• 利用不稳定熵映射 $ \mu \mapsto h^u_\mu(f) $ 的上半连续性，保证 $ u $-平衡态的存在性。
• 通过不稳定流形上的测度论性质，将 $ \varphi^u = -\log \|Df|_{E^u}\| $ 处的 $ u $-平衡态与 Gibbs $ u $-态联系起来。
• 通过研究切泛函及扰动下不变测度的收敛性，分析 $ P^u(f,\cdot) $ 的可微性。
• 建立 $ P^u(f,\cdot) $ 在 $ \varphi $ 处 Fréchet 可微性的等价条件：$ u $-平衡态的唯一性，以及在最大值器附近对不稳定熵的统一控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 不稳定压强 $ P^u(f,\varphi) $ 是否存在类似于经典压强变分原理的变分原理？
• RQ2 $ C^1 $-部分双曲微分同胚的 $ u $-平衡态是否总是存在？它们与经典平衡态有何不同？
• RQ3 $ u $-平衡态与 Gibbs $ u $-态之间存在何种关系，特别是对于势函数 $ \varphi^u = -\log \|Df|_{E^u}\| $ 时？
• RQ4 不稳定压强的可微性性质（Gateaux、Fréchet）如何与 $ u $-平衡态的唯一性和稳定性相关联？
• RQ5 不稳定压强能否确定不变测度？切泛函在刻画 $ u $-平衡态中的作用是什么？

主要发现

• 对于 $ C^1 $-部分双曲微分同胚，变分原理 $ P^u(f,\varphi) = \sup \{ h^u_\mu(f) + \int_M \varphi \, d\mu \} $ 成立。
• 对于任意连续势函数 $ \varphi $，$ u $-平衡态均存在，这是由于 $ \mu \mapsto h^u_\mu(f) $ 的上半连续性所致，与经典平衡态不同。
• 对于势函数 $ \varphi^u = -\log \|Df|_{E^u}\| $，$ u $-平衡态与 $ f $ 的 Gibbs $ u $-态完全一致。
• 不稳定压强 $ P^u(f,\cdot) $ 在 $ \varphi $ 处 Fréchet 可微当且仅当 $ \varphi $ 处的 $ u $-平衡态唯一且在统一熵控制意义下孤立。
• $ u $-平衡态的集合非空且紧致，其唯一性等价于 $ P^u(f,\cdot) $ 在 $ \varphi $ 处的 Fréchet 可微性。
• 若 $ \mu_\varphi $ 为唯一 $ u $-平衡态，则对所有在 $ \varphi $ 附近的小邻域内的 $ \psi $，有 $ P^u(f,\psi) = h^u_{\mu_\varphi}(f) + \int_M \psi \, d\mu_\varphi $ 成立，这意味着不稳定压强在局部具有线性性质。