[论文解读] Pathwise Viscosity Solutions of Stochastic PDEs and Forward Path-Dependent PDEs

Rainer Buckdahn, Jin Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文针对具有梯度依赖扩散项的完全非线性前向随机PDE，提出了一种类路径粘性解的新概念，借助Dupire的路径分析与路径随机Taylor展开。在一般系数条件下，建立了适定性，包括存在性、唯一性、稳定性及比较原理。

ABSTRACT

In this paper we propose a new notion of pathwise viscosity solution for a fairly large class of fully nonlinear (forward) Stochastic PDEs whose diffusion term is allowed to depend on both the solution and its gradient. With the help of the newly developed pathwise analysis in the sense of Dupire [10], we shall identify a forward SPDE as a Path-dependent PDE. We then propose a notion of (pathwise) viscosity solution to the PPDE in terms of the pathwise stochastic Taylor expansion, developed in our previous work [5] within Dupire’s pathwise analysis paradigm. Under some general assumptions on the coefficients, we prove the wellposedness of the viscosity solution: consistency, stability, existence, comparison principle and uniqueness.

研究动机与目标

• 为具有梯度依赖扩散项的前向随机PDE发展一种新的粘性解框架。
• 通过Dupire意义下的路径分析，弥合前向SPDE与路径依赖PDE（PPDE）之间的联系。
• 通过路径随机Taylor展开定义路径粘性解。
• 建立所提解概念的适定性，包括存在性、唯一性与稳定性。
• 在一般系数假设下，证明所提粘性解的比较原理。

提出的方法

• 利用Dupire的路径随机Itô微积分分析随机过程的样本路径，无需概率测度假设。
• 通过路径分析将前向SPDE表示为路径依赖PDE（PPDE）。
• 基于先前工作[5]中的路径随机Taylor展开定义路径粘性解。
• 以路径意义下的粘性解概念应用于PPDE，避免使用概率期望。
• 基于路径结构应用比较原理论证以证明唯一性。
• 通过路径扰动分析建立解概念的一致性与稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在路径意义下为具有梯度依赖扩散项的前向SPDE定义粘性解？
• RQ2 如何通过路径分析将前向SPDE解释为路径依赖PDE？
• RQ3 何种条件可确保所提路径粘性解的适定性？
• RQ4 路径随机Taylor展开如何促进粘性解的定义？
• RQ5 能否为前向SPDE的路径粘性解建立比较原理？

主要发现

• 当经典解存在时，所提路径粘性解概念与之保持一致。
• 在系数与解的逼近序列一致收敛下，解概念具有稳定性。
• 在SPDE系数的一般假设下，建立了路径粘性解的存在性。
• 路径粘性解满足比较原理，确保唯一性。
• 在给定假设下，解在有界连续函数类中唯一。
• 该框架适用于一大类具有梯度依赖扩散项的完全非线性前向SPDE。