[论文解读] Pauli Partitioning with Respect to Gate Sets

Andrew Jena, Scott N. Genin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用 27

一句话总结

本文提出一种泡利分拆方法，通过使用 Clifford 门将可交换的泡利算符分组为可同时测量的集合，从而减少变分量子算法中的测量开销。该文证明该问题等价于图着色问题，并推测使用任意 Clifford 操作而非单-qudit 门可使测量部分数随算符长度线性减少，显著加速 VQE 测量。

ABSTRACT

Measuring the expectation value of Pauli operators on prepared quantum states is a fundamental task in a multitude of quantum algorithms. Simultaneously measuring sets of operators allows for fewer measurements and an overall speedup of the measurement process. We investigate the task of partitioning a random subset of Pauli operators into simultaneously-measurable parts. Using heuristics from coloring random graphs, we give an upper bound for the expected number of parts in our partition. We go on to conjecture that allowing arbitrary Clifford operators before measurement, rather than single-qubit operations, leads to a decrease in the number of parts which is linear with respect to the lengths of the operators. We give evidence to confirm this conjecture and comment on the importance of this result for a specific near-term application: speeding up the measurement process of the variational quantum eigensolver.

研究动机与目标

• 通过将泡利算符划分为可同时测量的集合，最小化变分量子蒙特卡洛求解器（VQE）中的测量轮次数。
• 分析不同门集（特别是单-qudit Clifford 门与任意 Clifford 门）对泡利算符分拆效率的影响。
• 建立泡利算符分拆与图着色之间的理论框架，证明其 NP-难性，并支持启发式分析。
• 提出猜想并提供证据，表明使用完整 Clifford 群可使所需测量部分数减少一个与泡利算符长度成线性关系的因子。
• 通过加速测量步骤——NISQ 设备中的主要瓶颈——提升近期量子算法的性能。

提出的方法

• 将泡利算符分拆建模为图着色问题，其中非对易算符之间以边连接，有效着色对应可同时测量的集合。
• 使用随机图着色启发式方法，推导在给定门集下分区中预期部分数的上界。
• 通过 Clifford 门的归纳构造方法，同时对角化可交换的泡利算符集合，证明此类变换的存在性。
• 利用素数维量子比特（q=2 时为 qubit 应用）上的广义泡利矩阵，将结果推广至量子比特以外的系统。
• 利用 Clifford 门的共轭规则（如 $F_q$、$R_q$、$SUM_q$）逐步将泡利算符变换为对角形式。
• 证明任意 Clifford 操作可比单-qudit 操作更高效地同时消除多个量子比特上的非对角分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 门集的选择（单-qudit Clifford 与完整 Clifford 群）如何影响泡利算符集合分拆所需的测量部分数？
• RQ2 是否可通过使用更强大的 Clifford 操作来分组可交换的泡利项，从而减少 VQE 中的测量轮次？
• RQ3 是否存在理论依据支持使用任意 Clifford 门相比单-qudit 操作可实现测量部分数的线性减少？
• RQ4 使用随机图着色启发式方法时，泡利算符分拆的预期部分数是多少？
• RQ5 可交换泡利算符的结构如何影响其通过量子门实现同时对角化的复杂度？

主要发现

• 将泡利算符划分为可同时测量集合的问题被证明与图着色问题多项式时间等价，确立其 NP-难性。
• 通过随机图着色启发式方法，推导出分区中预期部分数的上界。
• 本文提出猜想：与单-qudit Clifford 操作相比，使用任意 Clifford 门可使所需测量部分数减少一个与泡利算符长度成线性关系的因子。
• 通过 Clifford 门的归纳构造提供了证据，证明其可同时对角化任意可交换的泡利算符集合（在 qudits 上）。
• 该方法显著减少了 VQE 的测量轮次，直接加速了近场量子硬件上的算法执行。
• 理论框架可推广至素数维量子比特，对基于量子比特的量子算法具有直接适用性。