[论文解读] PEL Modulispaces without $\mathbb C$-valued points

Oliver Bueltel|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 3

一句话总结

本文为奇素数特征下的希尔伯特簇纤维提供了新的模形式解释，证明了每个有界对称域在奇素数 p 的素数因子处均存在由算术群作用的商，其模型具有良好的约化性质。关键贡献在于证明了在奇素数特征下，所有有界对称域均存在此类具有良好约化性质的模型。

ABSTRACT

We give several new moduli interpretations of the fibers of certain Shimura varieties over several prime numbers. As a corollary we obtain that for every prescribed odd prime characteristic $p$ every bounded symmetric domain possesses quotients by arithmetic groups whose models have good reduction at a prime divisor of $p$.

研究动机与目标

• 理解奇素数特征下希尔伯特簇纤维的结构。
• 利用算术群为这些纤维提供新的模形式解释。
• 建立有界对称域在奇素数 p 的素数因子处的商的良好约化模型的存在性。

提出的方法

• 通过算术群作用分析在素数上的希尔伯特簇纤维。
• 采用模形式理论解释来描述这些纤维的几何结构。
• 利用有界对称域及其算术商的理论。
• 通过模形式构造在奇素数 p 的素数因子处实现良好约化。
• 在希尔伯特簇的背景下，利用已知的良好约化与算术群商的结果。
• 将具有层结构的阿贝尔簇的模形式空间与 p 处的纤维联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有有界对称域是否都存在在奇素数 p 的素数因子处具有良好约化性质的算术商？
• RQ2 能否为奇素数处的希尔伯特簇纤维赋予新的模形式解释？
• RQ3 阿贝尔簇的模形式空间与奇素数特征下的良好约化之间有何关系？
• RQ4 算术群如何作用于有界对称域以产生具有良好约化性质的模型？
• RQ5 何种条件可确保有界对称域的商在整除 p 的素数处具有良好约化？

主要发现

• 对每个奇素数 p，每个有界对称域均存在一个由算术群作用的商，其模型在 p 的素数因子处具有良好约化。
• 某些希尔伯特簇在奇素数处的纤维可通过算术群商获得新的模形式解释。
• 有界对称域的算术商在 p 的素数因子处实现了良好约化。
• 该构造依赖于奇素数处希尔伯特簇纤维的模形式描述。
• 结果将良好约化现象的适用范围扩展至奇素数特征下的所有有界对称域。
• 本文在指定设定下建立了良好约化模型存在的普遍性结果。