[论文解读] Perelman's Ricci Flow in Topological Quantum Gravity

Alexander Frenkel, Petr Hořava+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 47被引用 6

一句话总结

本文建立了佩雷尔曼的里奇流方程与拓扑非相对论性量子引力理论中局域化方程之间的精确映射。通过将度规函数重新解释为佩雷尔曼的标量场，并将 $\lambda \to -\infty$ 极限识别为固定体积约束，作者表明德图尔克技巧作为规范固定条件出现，而佩雷尔曼的 $\tau$ 函数则作为时间与尺度对称性自发对称性自发破缺的戈尔德斯通模，将里奇流嵌入量子场论框架之中。

ABSTRACT

We find the regime of our recently constructed topological nonrelativistic quantum gravity, in which Perelman's Ricci flow equations on Riemannian manifolds appear precisely as the localization equations in the path integral. In this mapping between physics and mathematics, the role of Perelman's dilaton is played by our lapse function. Perelman's local fixed volume condition emerges dynamically as the $λ$ parameter in our kinetic term approaches $λ o-\infty$. The DeTurck trick that decouples the metric flow from the dilaton flow is simply a gauge-fixing condition for the gauge symmetry of spatial diffeomorphisms. We show how Perelman's ${\cal F}$ and ${\cal W}$ entropy functionals are related to our superpotential. We explain the origin of Perelman's $τ$ function, which appears in the ${\cal W}$ entropy functional for shrinking solitons, as the Goldstone mode associated with time translations and spatial rescalings: In fact, in our quantum gravity, Perelman's $τ$ turns out to play the role of a dilaton for anisotropic scale transformations. The map between Perelman's flow and the localization equations in our topological quantum gravity requires an interesting redefinition of fields, which includes a reframing of the metric. With this embedding of Perelman's equations into topological quantum gravity, a wealth of mathematical results on the Ricci flow can now be imported into physics and reformulated in the language of quantum field theory.

研究动机与目标

• 在拓扑非相对论性量子引力模型中，确定佩雷尔曼里奇流方程作为路径积分中局域化方程出现的物理 regime。
• 澄清佩雷尔曼标量场的物理起源，表明其对应于量子引力模型中的度规函数。
• 解释佩雷尔曼流中固定体积条件如何作为动能项参数 $\lambda \to -\infty$ 的极限动态实现。
• 将佩雷尔曼的 $\tau$ 函数解释为与时间平移和空间缩放对称性相关的戈尔德斯通模。
• 建立一个非线性场重新定义，将佩雷尔曼流的几何变量映射到拓扑量子引力模型的场变量。

提出的方法

• 作者使用 $\mathcal{N}=2$ BRST 超对称代数，其中 $Q^2 = \overline{Q}^2 = 0$ 且 $\{Q, \overline{Q}\} = \partial_t$，在具有常时间片叶状结构的时空流形 $\mathcal{M}$ 上构建一个上同调型拓扑量子引力理论。
• 动力学场包括空间度量 $g_{ij}$、位移向量 $n^i$ 和度量函数 $n$，完整时空度量由这些分量重构。
• 通过非线性场重新定义，将佩雷尔曼的变量 $\hat{g}_{ij}, \hat{\phi}$ 映射到作者的场 $g_{ij}, \phi$，其中 $\phi = \log n$ 充当标量场的角色。
• 证明德图尔克技巧等价于空间微分同胚对称性的规范固定条件，从而实现度量与标量场演化之间的解耦。
• 佩雷尔曼理论中的 $\mathcal{F}$ 与 $\mathcal{W}$ 熵泛函与量子引力模型中的超势能相关联。
• $\lambda \to -\infty$ 极限下动能项参数 $\lambda$ 动态实现佩雷尔曼的固定体积条件 $e^{-\hat{\phi}}\sqrt{\hat{g}}\,d^Dx = dm(x^i)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 佩雷尔曼的里奇流方程如何作为路径积分中拓扑量子引力的局域化方程推导出来？
• RQ2 在非相对论性量子引力背景下，佩雷尔曼标量场的物理意义是什么？
• RQ3 佩雷尔曼流中的固定体积约束如何在量子引力框架内动态实现？
• RQ4 佩雷尔曼的 $\tau$ 函数在量子场论设置中的起源是什么？
• RQ5 德图尔克技巧如何与量子引力模型中的规范固定相关联？

主要发现

• 佩雷尔曼的里奇流方程作为拓扑量子引力模型路径积分中的局域化方程出现，其中度量函数 $n$ 映射到佩雷尔曼的标量场 $\hat{\phi}$。
• 佩雷尔曼流中的固定体积条件通过量子引力作用量中动能项参数 $\lambda \to -\infty$ 的极限动态实现。
• 德图尔克技巧（用于解耦度量与标量场演化）被识别为该理论空间微分同胚对称性的规范固定条件。
• 佩雷尔曼的 $\mathcal{F}$ 与 $\mathcal{W}$ 熵泛函被证明与量子引力模型的超势能相关。
• 佩雷尔曼的 $\tau$ 函数被识别为时间平移与空间缩放对称性自发破缺的戈尔德斯通模，并作为各向异性标度变换的标量场。
• 将佩雷尔曼变量映射到量子引力场的场重新定义涉及空间度量的非线性标架变换，形式为 $\widetilde{g}_{ij} = e^{\alpha \phi} g_{ij}$，并显式推导了曲率与协变导数的变换规则。