[论文解读] Perfect domination in regular grid graphs

Italo J. Dejter|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2007

Coding theory and cryptography参考文献 9被引用 5

一句话总结

该论文证明了在2D整数格点图Λ中存在不可数个并行全完美码，其特征由二重无限二进制序列表征，并将1-完美码划分推广至高维空间。论文证明了Λ及其环面商图中的此类码对应于以{1,…,r}为生成集的Z_{2r+1}的Cayley图，从而在r维格点和环面中唯一地实现1-完美码划分。

ABSTRACT

We show there is an uncountable number of parallel total perfect codes in the integer lattice graph $Λ$ of $\R^2$. In contrast, there is just one 1-perfect code in $Λ$ and one total perfect code in $Λ$ restricting to total perfect codes of rectangular grid graphs (yielding an asymmetric, Penrose, tiling of the plane). We characterize all cycle products $C_m imes C_n$ with parallel total perfect codes, and the $d$-perfect and total perfect code partitions of $Λ$ and $C_m imes C_n$, the former having as quotient graph the undirected Cayley graphs of $\Z_{2d^2+2d+1}$ with generator set $\{1,2d^2\}$. For $r>1$, generalization for 1-perfect codes is provided in the integer lattice of $\R^r$ and in the products of $r$ cycles, with partition quotient graph $K_{2r+1}$ taken as the undirected Cayley graph of $\Z_{2r+1}$ with generator set $\{1,...,r\}$.

研究动机与目标

• 表征2D整数格点图Λ中全完美码的结构与存在性。
• 研究循环积图C_m × C_n中并行全完美码的存在性。
• 将1-完美码划分推广至r维整数格点及其环面商图。
• 将这些码划分的商图识别为循环群的无向Cayley图。
• 确立Λ中1-完美码及其在矩形网格图上的限制的唯一性。

提出的方法

• 建立了Λ中并行全完美码与二重无限二进制序列之间的一一对应关系。
• 通过Z_{2r+1}对Λ^r中的顶点进行标记，使得相邻顶点在第i个坐标上相差i mod (2r+1)。
• 通过基于坐标和模(2r+1)的结果，将每个顶点分配一个{1,…,2r+1}中的标签，从而在Λ^r中构造1-完美码划分。
• 利用自然投影ρ: Λ^r → C_{m_1} × ⋯ × C_{m_r}，将环面中的码划分提升至无限格点。
• 证明了码划分的商图为K_{2r+1}，即以{1,…,r}为生成集的Z_{2r+1}的无向Cayley图。
• 证明了在Λ^r中与基码同构的1-完美码总数为2(2r+1)，该结果源于镜像对称性和标签置换。

实验结果

研究问题

• RQ1 在2D整数格点图Λ中，存在多少个并行全完美码？
• RQ2 在哪些循环积图C_m × C_n中存在并行全完美码？
• RQ3 Λ和C_m × C_n中d-完美码与全完美码划分的商图是什么？
• RQ4 如何将1-完美码划分推广至r维格点和环面？
• RQ5 Λ^r及其环面商图中1-完美码集合的结构与基数是什么？

主要发现

• 在2D整数格点Λ中存在不可数个并行全完美码，其与二重无限二进制序列之间存在一一对应关系。
• 在Λ中恰好存在一个1-完美码，且仅存在一个在矩形网格图上限制后仍为全完美码的全完美码，从而产生一种非对称的彭罗斯类密铺。
• Λ和C_m × C_n中d-完美码划分的商图是Z_{2d^2 + 2d + 1}的无向Cayley图，其生成集为{1, 2d^2}。
• 在r维格点中，1-完美码划分存在，其商图为K_{2r+1}，即以{1,…,r}为生成集的Z_{2r+1}的无向Cayley图。
• 在Λ^r中与基码同构的1-完美码总数为2(2r+1)，其来源为镜像对称性和标签置换。
• 当r ≥ 1时，r维环面C_{m_1} × ⋯ × C_{m_r}中存在1-完美码划分，当且仅当每个m_i是q / gcd(q, i)的倍数，其中q = 2r + 1。