[论文解读] Perfect Sampling of Hawkes Processes and Queues with Hawkes Arrivals

Xinyun Chen|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2020

Point processes and geometric inequalities参考文献 20被引用 6

一句话总结

该论文提出了首个针对霍克斯/GI/1队列的完美抽样算法，实现了从稳态分布中精确的i.i.d.抽样。该方法提出了一种新颖且高效的霍克斯过程完美抽样方法，基于其簇表示进行重要性抽样，显著提升了计算效率，优于以往方法，并实现了具有有限期望终止时间的自激发队列系统的精确模拟。

ABSTRACT

In this paper we develop the first perfect sampling algorithm for queues with Hawkes input, i.e. single-server queues with Hawkes arrivals and i.i.d. service times of general distribution. In addition to the stability condition, we also assume the excitation function of the Hawkes process has a light tail and the service time has finite moment generating function in the neighborhood of the origin. In this procedure, we also propose a new perfect sampling algorithm for Hawkes process with improved computational efficiency compared to the existing algorithm. Theoretical analysis and numerical tests on the algorithms' correctness and efficiency are also included.

研究动机与目标

• 开发首个具有自激发到达特性的单服务器队列的完美抽样算法。
• 解决具有依赖性、自激发到达的队列中稳态等待时间模拟的挑战，此类问题在标准方法下难以解析求解。
• 设计一种具有有限期望终止时间的霍克斯过程新完美抽样算法，克服以往方法无限复杂度的缺陷。
• 实现具有自激发到达的队列系统中稳态性能指标的精确数值计算，如等待时间的均值和方差。
• 通过精确模拟研究自激发对队列性能的影响，特别是对等待时间分布和离散度的影响。

提出的方法

• 该算法利用霍克斯过程的簇表示，将到达建模为由每个父事件触发的事件簇，从而实现高效模拟。
• 在簇表示上应用重要性抽样，以减少随机种子的期望数量，并确保有限的期望终止时间。
• 构建一个耦合的随机游走 $\tilde{R}(m)$ 以支配过程 $R(n)$，使得 $\max_{m\geq n}\tilde{R}(m)$ 可用于模拟 $\max_{n\geq 0}R(n)$。
• 稳态等待时间表示为 $\max_{n\geq 0}R(n)$，并通过随机游走理论技术与支配过程联合模拟该最大值。
• 该算法在耦合从过去（coupling-from-the-past）框架下通过耦合实现精确抽样，当观察到成功概率为 $B=0$ 的伯努利试验时，终止过程被保证。
• 通过数值实验验证了该方法，比较了朴素模拟的混合时间与完美抽样算法的期望样本路径长度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有霍克斯输入的单服务器队列开发出完美抽样算法，其中到达具有自激发特性且相互依赖？
• RQ2 如何克服现有霍克斯过程完美抽样算法中无限期望复杂度的问题？
• RQ3 在霍克斯/GI/1队列中，完美抽样算法的期望样本路径长度与朴素模拟的混合时间之间存在何种关系？
• RQ4 到达的自激发如何影响队列中稳态虚拟等待时间的均值与方差？
• RQ5 所提出的基于簇表示的重要性抽样技术能否推广至其他具有簇结构的点过程？

主要发现

• 所提出的霍克斯/GI/1队列完美抽样算法具有有限的期望样本路径长度，在测试示例中 $E[T_{ps}] \approx 28.4936$，短于朴素模拟的混合时间 ($T \approx 40$)。
• 超过50%的样本路径长度短于20个时间单位，表明在许多情况下收敛迅速。
• 超过10%的样本路径长度超过50个时间单位，解释了在 $T < 50$ 时朴素模拟中持续存在的瞬态偏差。
• 自激发显著增加了稳态等待时间的均值与方差：当 $h_1 = 0.7$ 时，$E[W_\infty] = 3.4388$ 且 $Var(W_\infty) = 34.8779$，方差与均值之比为 10.1425。
• 随着自激发程度增强，方差与均值之比上升，从低激发时的 2.0567 增至高激发时的 10.1425，表明簇状到达导致更高的离散度。
• 所提出的霍克斯过程新完美抽样算法实现了有限的期望终止时间，并优于文献[22]中的现有方法，后者具有无限的期望复杂度。