[论文解读] Perfect state transfer, integral circulants and join of graphs

Ricardo Javier Angeles-Canul, Rachael M. Norton+4 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文通过图的并集运算及其循环推广，引入了新型图族，展示了在量子网络中实现完美态传输。构造了整数循环图，如当 n 被 16 整除且 b ∈ {1,2} 时的 ICGₙ({2, n/2ᵇ} ∪ Q)，并利用 K̄₂ 与正则图的并集构造非周期双锥图，证明了完美态传输，从而回答了 Godsil 提出的一个开放问题。

ABSTRACT

We propose new families of graphs which exhibit quantum perfect state transfer. Our constructions are based on the join operator on graphs, its circulant generalizations, and the Cartesian product of graphs. We build upon the results of Bašić et al \cite{bps09,bp09} and construct new integral circulants and regular graphs with perfect state transfer. More specifically, we show that the integral circulant $ extsc{ICG}_{n}(\{2,n/2^{b}\} \cup Q)$ has perfect state transfer, where $b \in \{1,2\}$, $n$ is a multiple of 16 and $Q$ is a subset of the odd divisors of $n$. Using the standard join of graphs, we also show a family of double-cone graphs which are non-periodic but exhibit perfect state transfer. This class of graphs is constructed by simply taking the join of the empty two-vertex graph with a specific class of regular graphs. This answers a question posed by Godsil \cite{godsil08}.

研究动机与目标

• 构造在未调制量子自旋网络中表现出完美态传输的新图族。
• 将图并集运算推广为保持循环结构的循环并集，以在新图族中实现完美态传输。
• 通过构造双锥图族，解决 Godsil 提出的关于非周期图中完美态传输的开放问题。
• 将已知的关于整数循环图与笛卡尔积中完美态传输的结果推广至更广泛的图类。
• 将复合图中完美态传输的存在性简化为对其分量的条件，从而实现系统的构造。

提出的方法

• 引入循环并集运算 G+ₜC G，通过循环矩阵 C 将两个循环图 G 的副本连接起来，该运算在标准并集与笛卡尔积之间插值。
• 证明若 cos(t*√(CᵀC)) = ±I 且 G 在时间 t* 处具有完美态传输，则 G+ₜC G 也在 t* 处具有完美态传输。
• 证明当 C 为回文循环矩阵时，循环并集产生循环图，从而可构造新的整数循环图。
• 推导出一族新图 ICGₙ({2, n/2ᵇ} ∪ Q)，其中 b ∈ {1,2}，n 被 16 整除，Q 为 n 的奇因数子集，该族图具有完美态传输。
• 建立图的 m 重自并集与多个图的笛卡尔积的封闭性质，当所有图具有相同的完美态传输时间时成立。
• 将两个正则图的并集 G+H 中的完美态传输条件简化为 G 的谱条件及对图的大小与度数的约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将图并集运算推广以保持循环结构，并在新图族中实现完美态传输？
• RQ2 形如 ICGₙ({2, n/2ᵇ} ∪ Q) 的整数循环图是否在 b ∈ {1,2} 且 n 被 16 整除时表现出完美态传输？
• RQ3 能否通过 K̄₂ 与正则图的并集构造非周期图以实现完美态传输，从而回答 Godsil 的开放问题？
• RQ4 图的 m 重自并集在何种条件下保持完美态传输？
• RQ5 当多个图的笛卡尔积的所有分量均具有相同的完美态传输时间时，能否保证其完美态传输？

主要发现

• 当 b ∈ {1,2}，n 被 16 整除，且 Q 为 n 的奇因数子集时，整数循环图 ICGₙ({2, n/2ᵇ} ∪ Q) 表现出完美态传输。
• 当 cos(t*√(CᵀC)) = ±I 且 G 在时间 t* 处具有完美态传输时，循环并集构造 G+ₜC G 保持完美态传输。
• 由 K̄₂ 与正则图 G 的并集构成的双锥图 K̄₂ + G 表现出完美态传输，且为非周期图。
• m 重自并集 ∑ₖ₌₁ᵐ G 中的完美态传输可归约为对 G 的条件及附加谱约束，从而实现系统化构造。
• 当所有分量具有相同完美态传输时间时，多个完美态传输图的笛卡尔积也表现出完美态传输。
• 本文通过使用并集算子构造一族新的非周期图，解决了 Godsil 的开放问题。