[论文解读] Total dominator coloring of circulant graphs $C_n(a,b)$

Parvin Jalilolghadr, Adel P. Kazemi+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文在 $n \geq 6$ 的条件下，且满足 $\gcd(a,n) = 1$ 与 $a^{-1}b \equiv 3 \pmod{n}$ 時，確定了循環圖 $C_n(\{a,b\})$ 的總支配色數。該研究利用圖的結構性質與模運算約束，建立了一個精確的色數公式。

ABSTRACT

The circulant graph $C_n(S)$ with connection set $S\subseteq \{1,2,\cdots,n\}$ is the graph with vertex set $V=\{1,\ldots, n\}$ and two vertices $x,y$ are adjacent if $|x-y|\in S$. In this paper, we will calculate the total dominator chromatic number of the circulant graph $C_n(\{a,b\})$ when $n\geq 6$, $gcd(a,n)=1$ and $ a^{-1}b\equiv 3 \pmod{n}$.

研究动机与目标

• 在特定代數約束下，確定循環圖 $C_n(\{a,b\})$ 的總支配色數。
• 分析連接集為 $\{a,b\}$ 且滿足 $\gcd(a,n) = 1$ 的循環圖之結構性質。
• 研究模條件 $a^{-1}b \equiv 3 \pmod{n}$ 對總支配色數的影響。
• 在給定參數範圍內，建立總支配色數的封閉表達式。

提出的方法

• 使用循環圖 $C_n(S)$ 的定義，其頂點集為 $\{1, \ldots, n\}$，且基於 $|x - y| \in S$ 決定鄰接關係。
• 應用數論條件：$\gcd(a,n) = 1$ 確保 $a$ 在模 $n$ 下可逆，且 $a^{-1}b \equiv 3 \pmod{n}$ 對連接集施加結構性約束。
• 運用圖論技術分析總支配色數，其中每個頂點在色數劃分中支配所有其他頂點。
• 透過分析在給定模條件下連接集 $\{a,b\}$ 所誘導的對稱性與連通性，推導出色數。
• 依賴模逆元性質與循環圖結構，以分類色數行為。
• 根據模條件 $a^{-1}b \equiv 3 \pmod{n}$ 進行案例分析，確立總支配色數。

实验结果

研究问题

• RQ1 當 $\gcd(a,n) = 1$ 且 $a^{-1}b \equiv 3 \pmod{n}$ 時，$C_n(\{a,b\})$ 的總支配色數為何？
• RQ2 條件 $a^{-1}b \equiv 3 \pmod{n}$ 如何影響循環圖的總支配色數？
• RQ3 能否在這些約束下推導出總支配色數的封閉表達式？
• RQ4 $C_n(\{a,b\})$ 的哪些結構特徵使得在此情況下能確立總支配色數？

主要发现

• 在給定條件下，$C_n(\{a,b\})$ 的總支配色數被明確確立。
• 條件 $a^{-1}b \equiv 3 \pmod{n}$ 在將色數固定為特定值的過程中發揮關鍵作用。
• 色數與 $a$ 和 $b$ 的具體值無關，僅取決於 $n$ 和模約束。
• 該結果對所有 $n \geq 6$ 成立，確保在定義參數空間內具有廣泛適用性。
• 在給定約束下，循環圖的結構允許獲得唯一且可計算的總支配色數。
• 推導過程依賴模運算與圖對稱性之間的相互作用，從而得出結果。