[论文解读] Perfectoid covers of abelian varieties

Clifford Blakestad, Damián Gvirtz+5 more|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 10

一句话总结

该论文证明了在残数特征为 $p$ 的代数闭非阿基米德域上，任意阿贝尔簇 $A$ 的 $[p]$-乘法塔 $\varprojlim_{[p]}A$ 存在完美oid空间 $A_{u}$ 作为 tilde-极限。该构造通过雷诺索扩张实现，利用环面与具有良好约化的阿贝尔簇的完美oid tilde-极限，得到一个完美oid群的短正合列 $0 \to T_\infty \to E_\infty \to B_\infty \to 0$，从而实现 $A^\diamond$ 的均匀化表示为 $A_\infty / T_pA$。这为阿贝尔簇与曲线提供了通过pro-étale拓扑的完美oid通用覆盖。

ABSTRACT

For an abelian variety $A$ over an algebraically closed non-archimedean field of residue characteristic $p$, we show that there exists a perfectoid space which is the tilde-limit of $\varprojlim_{[p]}A$. Our proof also works for the larger class of abeloid varieties.

研究动机与目标

• 构造一个完美oid空间 $A_\infty$，使其作为非阿基米德域上阿贝尔簇的 $[p]$-乘法塔 $\varprojlim_{[p]}A$ 的 tilde-极限。
• 通过雷诺索扩张，将具有良好约化情形下的已知结果推广至半稳定约化的一般情形。
• 利用完美oid群结构，建立阿贝尔簇的diamond $A^\diamond$ 作为商 $A_\infty / T_pA$ 的均匀化表示。
• 通过pro-étale基本群即塔特模 $TA$，将通用pro-étale覆盖构造从曲线推广至阿贝尔簇。

提出的方法

• 使用赫伯的tilde-极限概念，在普通极限不存在的adique空间范畴中定义极限。
• 通过 $[p]$-乘法塔，构造分裂环面 $T = (\mathbb{G}_m^{\text{an}})^d$ 的完美oid tilde-极限 $T_\infty$。
• 利用局部分裂的雷诺索扩张 $0 \to T \to E \to B \to 0$，通过adique空间中的纤维丛技巧，将 $[p]$-塔上移到 $E$。
• 通过追踪局部分裂在 $[p]$-塔中的传递，构造 $E_\infty$ 作为 $E$ 的完美oid tilde-极限，得到短正合列 $0 \to T_\infty \to E_\infty \to B_\infty \to 0$。
• 利用格 $M \subset E$，将 $A = E/M$ 的 $[p]$-塔分解为两部分：一部分在 $E/M_n$ 上，另一部分通过投影映射 $v^n: E/M \to E/M_n$。
• 构造 $A'_\infty$ 为 $E/M_n$ 的 tilde-极限，满足 $0 \to M \to E_\infty \to A'_\infty \to 0$，并利用平展下降得到 $A_\infty$，从而得出 $A_\infty \sim \varprojlim_{[p]}A$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在残数特征为 $p$ 的非阿基米德域上，阿贝尔簇的 $[p]$-乘法塔是否存在完美oid tilde-极限？
• RQ2 能否通过pro-étale拓扑将完美oid通用覆盖的构造从曲线推广至阿贝尔簇？
• RQ3 雷诺索扩张 $0 \to T \to E \to B \to 0$ 的结构如何促进半稳定约化情形下完美oid tilde-极限的构造？
• RQ4 作为 $E_\infty$ 对塔特模 $T_pA$ 的商，完美oid群 $A_\infty$ 的精确结构是什么？
• RQ5 能否通过完美oid几何将diamond $A^\diamond$ 精确描述为商 $A_\infty / T_pA$？

主要发现

• 完美oid tilde-极限 $A_\infty$ 存在，且对任意残数特征为 $p$ 的非阿基米德域上的阿贝尔簇 $A$，满足 $A_\infty \sim \varprojlim_{[p]}A$，推广了具有良好约化情形下的已有结果。
• 该构造产生一个完美oid群的短正合列 $0 \to T_\infty \to E_\infty \to B_\infty \to 0$，其中 $T_\infty$ 是环面 $T$ 的完美oid极限。
• 曲线 $C$ 的通用覆盖 $\tilde{C}$ 是完美oid tilde-极限 $\tilde{C} \sim \varprojlim_H C_H$，其中 $H$ 跑遍 $\pi_1(C,x)$ 的开子群，且 $\tilde{C}$ 是一个pro-étale $\pi_1(C,x)$-扭子。
• 对于阿贝尔簇，pro-étale基本群同构于塔特模 $TA = \varprojlim_N A[N]$，且 $A^\diamond$ 允许均匀化表示 $A^\diamond = A_\infty / T_pA$。
• tilde-极限 $A_\infty$ 适合于一个紧致完美oid序列 $0 \to M \to D_\infty \times E_\infty \to A_\infty \to 0$，其中 $D_\infty$ 是核 $D_n$ 的 tilde-极限，提供原始序列 $0 \to M \to E \to A \to 0$ 的完美oid类比。
• 映射 $\tilde{C} \to C$ 是所有有限-étale完美oid覆盖中的通用映射，对任意此类覆盖 $X \to C$，有 $X \cong \underline{F(X)} \times^{\pi_1(C,x)} \tilde{C}$，通过范畴商构造。