[论文解读] Periodic cyclic homology of Hecke algebras and their Schwartz completions

Maarten Solleveld|ArXiv.org|May 2, 2006

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文证明了将仿射赫尔代代代数包含在其施瓦茨完备化中时，会诱导周期循环同调（HP）上的同构，推广了代数与解析德雷姆上同调之间的经典同构。通过谱分解、谱的形变收缩以及循环同调中的局部化，作者证明了HP在该完备化下保持不变，将交换代数的结果扩展至非交换赫尔代代代数。

ABSTRACT

We show that the inclusion of an affine Hecke algebra in its Schwartz completion induces an isomorphism on periodic cyclic homology.

研究动机与目标

• 将周期循环同调与德雷姆上同调之间的经典同构推广至非交换赫尔代代代数。
• 研究将仿射赫尔代代代数包含在其施瓦茨完备化中是否保持周期循环同调。
• 将鲍姆与尼托尔关于有限型代数的结果推广至仿射赫尔代代代数的非交换设定。
• 通过循环同调为p进群情形下的鲍姆-康奈斯猜想提供同调基础。

提出的方法

• 利用仿射赫尔代代代数及其施瓦茨完备化的谱的分层方法进行谱分解。
• 应用鲍姆与尼托尔的定理：有限型代数的HP仅依赖于其配备雅可布森拓扑的谱。
• 在仿射赫尔代代代数的谱与其实斯瓦茨完备化的谱之间构造形变收缩。
• 在周期循环同调与具有复系数的K-理论中应用局部化，以关联商代数的同调。
• 利用施瓦茨代数中光滑函数的稠密性，以及光滑表示理论中某些正合序列的可接受性。
• 通过涉及相对上同调与相对霍赫希尔德同调的交换图建立同构，利用拓扑形变收缩。

实验结果

研究问题

• RQ1 将仿射赫尔代代代数包含在其施瓦茨完备化中是否诱导周期循环同调上的同构？
• RQ2 用于交换代数的谱方法能否推广至具有非豪斯多夫谱的非交换赫尔代代代数？
• RQ3 尽管霍赫希尔德同调不与完备化交换，赫尔代代代数的周期循环同调在完备化为施瓦茨代数时是否保持不变？
• RQ4 赫尔代代代数与其施瓦茨完备化之间的谱的形变收缩在多大程度上蕴含同调不变性？
• RQ5 该结果能否用于通过循环同调支持p进群的鲍姆-康奈斯猜想？

主要发现

• 仿射赫尔代代代数包含在其施瓦茨完备化中诱导周期循环同调上的同构：$ HP_*(\mathcal{H}) \cong HP_*(\mathcal{S}) $。
• 仿射赫尔代代代数及其施瓦茨完备化的谱具有形变收缩，使得其上同调可进行拓扑比较。
• 相对上同调 $ \check{H}^*(X_m, Y_m; \mathbb{C}) $ 计算了滤子中商代数的周期循环同调，为连接光滑函数代数提供了桥梁。
• 由于对 $ (X'_m, Y'_m) $ 到 $ (X_m, Y_m) $ 的形变收缩，同构 $ HP_*(I_{i-1}/I_i) \to HP_*(C^\infty(U; \mathrm{End}\, V_i)^{\mathcal{W}_i}) $ 成立。
• 交换图（22）确认了同调同构链中的所有映射均为同构，从而证明了主要结果。
• 该结果可推广至 $ GL(n,F) $，其中 $ HP_*(\mathcal{H}(GL(n,F))) \cong HP_*(\mathcal{S}(GL(n,F))) $，支持了关于伯恩斯坦分支的猜想。