[论文解读] Periodic Random Attractors for Stochastic Navier-Stokes Equations on Unbounded Domains

Bixiang Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用 22

一句话总结

该论文证明了在无界区域上，带有时间依赖确定性强迫项的2D随机Navier-Stokes方程存在且唯一具有缓增随机拉back吸引子。通过结合非自治与随机动力系统理论，并利用Ball的能量方程方法克服无界区域上非紧致Sobolev嵌入的问题，证明了当强迫项为周期性时，吸引子也具有时间周期性。

ABSTRACT

This paper is concerned with the asymptotic behavior of solutions of the two-dimensional Navier-Stokes equations with both non-autonomous deterministic and stochastic terms defined on unbounded domains. We first introduce a continuous cocycle for the equations and then prove the existence and uniqueness of tempered random attractors. We also characterize the structures of the random attractors by complete solutions. When deterministic forcing terms are periodic, we show that the tempered random attractors are also periodic. Since the Sobolev embeddings on unbounded domains are not compact, we establish the pullback asymptotic compactness of solutions by Ball's idea of energy equations.

研究动机与目标

• 在无界区域上，为带有非自治确定性项与随机项的2D随机Navier-Stokes方程建立缓增随机拉back吸引子的存在性与唯一性。
• 通过将Ball的能量方程方法适配于无界区域上非紧致Sobolev嵌入的挑战，证明拉back渐近紧致性。
• 通过缓增完全解刻画吸引子的结构。
• 当确定性强迫项在时间上为周期性时，研究吸引子的周期性。
• 将拉back吸引子理论扩展至定义在两个参数空间上的随机动力系统：一个用于非自治确定性项，另一个用于随机噪声。

提出的方法

• 在两个参数空间上定义随机Navier-Stokes方程的连续协边：$\Omega_1 = \mathbb{R}$ 用于非自治强迫项的时间平移，$\Omega_2$ 用于维纳过程的概率空间。
• 使用Ball最初提出的方法，即能量方程方法，即使在无界区域上Sobolev嵌入不紧致，仍能建立拉back渐近紧致性。
• 通过在能量空间 $H = L^2(Q)$ 上对解导出一致估计，构造一个缓增随机吸收集。
• 通过证明初始数据属于缓增集合的解序列沿子列收敛，来证明 $\mathcal{D}$-拉back渐近紧致性。
• 通过完全解刻画吸引子结构：$\mathcal{A}(\tau, \omega) = \{ \psi(0, \tau, \omega) \mid \psi \text{ 是 } \mathcal{D}\text{-完全轨道} \}$。
• 通过证明若强迫项 $f$ 为 $T$-周期性，则协边 $\Phi$ 也为 $T$-周期性，从而证明吸引子的周期性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无界区域上，带有时间依赖确定性强迫项的2D随机Navier-Stokes方程是否存在缓增随机拉back吸引子？
• RQ2 当无界区域导致Sobolev嵌入非紧致时，能否建立解的拉back渐近紧致性？
• RQ3 随机吸引子的结构是什么？能否通过完全解来刻画？
• RQ4 若确定性强迫项 $f$ 在时间上为周期性，所得到的随机吸引子是否也为周期性？
• RQ5 拉back吸引子理论如何扩展至同时具有非自治确定性项与随机项的无界区域系统？

主要发现

• 在无界区域上，与随机Navier-Stokes方程相关的连续协边在空间 $H = L^2(Q)$ 中存在唯一的 $\mathcal{D}$-拉back吸引子。
• 吸引子被刻画为所有 $\mathcal{D}$-完全轨道的并集：$\mathcal{A}(\tau, \omega) = \bigcup_{B \in \mathcal{D}} \Omega(B, \tau, \omega) = \{ \psi(0, \tau, \omega) \mid \psi \text{ 是 } \mathcal{D}\text{-完全解} \}$。
• 当确定性强迫项 $f$ 为周期 $T$ 的周期函数时，吸引子 $\mathcal{A}$ 也具有相同的周期 $T$。
• 吸引子的存在性通过缓增随机吸收集与 $\mathcal{D}$-拉back渐近紧致性的结合得以证明，后者使用Ball的能量方程方法建立。
• 吸引子是唯一且可测的，该理论适用于同时具有非自治确定性项与多重 Stratonovich 噪声的系统。
• 研究结果将拉back吸引子理论扩展至具有时间依赖强迫项的无界区域上的非紧致随机动力系统，填补了文献中的空白。