[论文解读] Sufficient and Necessary Criteria for Existence of Pullback Attractors for Non-compact Random Dynamical Systems

Bixiang Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2012

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 38被引用 23

一句话总结

本文建立了在由确定性与随机强迫共同驱动的非自治、非紧致随机动力系统中，拉回吸引子存在的充分必要条件。通过引入双参数协边框架及尾部估计技术，克服无界区域上的非紧致性问题，作者证明了在 $\mathbb{R}^n$ 上的反应-扩散方程存在唯一拉回吸引子，并进一步表明在适当条件下，周期性确定性强迫可诱导出周期性拉回吸引子。

ABSTRACT

We study pullback attractors of non-autonomous non-compact dynamical systems generated by differential equations with non-autonomous deterministic as well as stochastic forcing terms. We first introduce the concepts of pullback attractors and asymptotic compactness for such systems. We then prove a sufficient and necessary condition for existence of pullback attractors. We also introduce the concept of complete orbits for this sort of systems and use these special solutions to characterize the structures of pullback attractors. For random systems containing periodic deterministic forcing terms, we show the pullback attractors are also periodic. As an application of the abstract theory, we prove the existence of a unique pullback attractor for Reaction-Diffusion equations on $\R^n$ with both deterministic and random external terms. Since Sobolev embeddings are not compact on unbounded domains, the uniform estimates on the tails of solutions are employed to establish the asymptotic compactness of solutions.

研究动机与目标

• 建立非自治、非紧致随机动力系统中拉回吸引子存在的充分必要条件，该系统同时包含确定性与随机强迫项。
• 引入此类系统中 ${{\mathcal{D}}}$-完全轨道的概念，并利用其刻画 ${{\mathcal{D}}}$-拉回吸引子的结构。
• 研究当确定性强迫为周期性时，拉回吸引子的周期性，将理论扩展至随机周期吸引子。
• 将抽象框架应用于反应-扩散方程，证明其在无界区域 $\mathbb{R}^n$ 上存在唯一拉回吸引子。

提出的方法

• 在 $\Omega_1$（确定性强迫）与 $\Omega_2$（随机强迫）上引入双参数协边框架，推广经典随机与非自治确定性协边系统。
• 在此扩展框架下，定义 ${{\mathcal{D}}}$-拉回吸收集、${{\mathcal{D}}}$-拉回渐近紧致性及 ${{\mathcal{D}}}$-拉回吸引子。
• 通过对解施加一致的尾部估计，弥补无界区域上Sobolev嵌入不紧致的缺陷，确保渐近紧致性。
• 通过构造在拉回意义下保持有界的全局解，即 ${{\mathcal{D}}}$-完全轨道，用于刻画吸引子结构。
• 通过证明协边在周期性确定性强迫下为周期性，并利用族 ${{\mathcal{D}}}_\lambda$ 的平移不变性，证明拉回吸引子的周期性。
• 将抽象结果应用于 $\mathbb{R}^n$ 上的反应-扩散方程，其具有非线性漂移项、确定性强迫 $g$ 及乘性噪声 $h\,d\omega$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有混合强迫的非自治、非紧致随机动力系统中，拉回吸引子存在的充分必要条件是什么？
• RQ2 如何利用此类系统中的 ${{\mathcal{D}}}$-完全轨道来刻画拉回吸引子的结构？
• RQ3 在何种条件下，周期性确定性强迫会导致随机动力系统中出现周期性拉回吸引子？
• RQ4 该抽象理论能否用于证明无界区域上反应-扩散方程拉回吸引子的存在性？

主要发现

• 为具有双参数协边的随机动力系统，建立了 ${{\mathcal{D}}}$-拉回吸引子存在的充分必要条件。
• ${{\mathcal{D}}}$-拉回吸引子被表征为所有 ${{\mathcal{D}}}$-完全轨道的并集，将确定性情形下的表征推广至随机系统。
• 当确定性强迫 $g$ 具有周期 $T$ 时，若系统满足所需的平移不变性与衰减条件，则拉回吸引子也具有相同的周期 $T$。
• 在 $\mathbb{R}^n$ 上具有非线性漂移项、确定性强迫 $g$ 及乘性噪声的反应-扩散方程，存在唯一的 ${{\mathcal{D}}}_\lambda$-拉回吸引子。
• 对解施加一致的尾部估计，足以在Sobolev嵌入不紧致的无界区域上建立渐近紧致性。
• 拉回吸引子结构在强迫函数平移下保持不变，且可通过轨道闭包 $\Omega_g$ 或 $\Omega_g^T$ 上的协边等价描述吸引子。