[论文解读] Permutations avoiding a pattern from $S_k$ and at least two patterns from $S_3$

Toufik Mansour|ArXiv.org|Jul 31, 2000

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 4被引用 7

一句话总结

本文为 $S_n$ 中避免来自 $S_k$ 的模式（$k \geq 3$）且至少避免 $S_3$ 中两个模式的排列数，提供了显式公式和生成函数。通过基于集合 $T \subseteq S_3$ 的大小进行案例分析，系统地对这些避免集合进行分类，推导出生成函数和基数的闭式表达，并最终实现对 $|T| \geq 2$ 且 $\tau \in S_4$ 的完整 Wilf 分类，揭示此类排列数通常为常数，或遵循线性、斐波那契或有理生成函数模式。

ABSTRACT

In this paper, we find explicit formulas or generating functions for the cardinalities of the sets $S_n(T,τ)$ of all permutations in $S_n$ that avoid a pattern $τ\in S_k$ and a set $T$, $|T|\geq 2$, of patterns from $S_3$. The main body of the paper is divided into three sections corresponding to the cases $|T|=2,3$ and $|T|\geq 4$. As an example, in the fifth section, we obtain the complete classification of all cardinalities of the sets $S_n(T,τ)$ for $k=4$.

研究动机与目标

• 确定集合 $S_n(T,\tau)$ 的精确基数，其中 $T \subseteq S_3$，$|T| \geq 2$，且 $\tau \in S_k$（$k \geq 3$），且 $\tau$ 避免 $T$ 中的所有模式。
• 通过 Wilf 等价性对所有此类避免集合进行分类，尤其针对 $\tau \in S_4$，提供 Wilf 类的完整枚举。
• 利用递归结构和矩阵行列式恒等式，推导出序列 $|S_n(T,\tau)|$ 的显式生成函数。
• 解决 $|T| \geq 4$ 时的 Wilf 分类问题，表明此类排列数为常数或具有简单闭式表达。

提出的方法

• 本文基于排列 $\alpha \in S_n(T,\tau)$ 中最大元素 $n$ 的位置，使用递归分解，导出 $a_\tau(n) = |S_n(T,\tau)|$ 的递推关系。
• 应用矩阵行列式恒等式（引理 1），将生成函数 $a_\tau(x)$ 表示为下 Hessenberg 矩阵的行列式，其元素涉及 $f_d(x) = \frac{1-x}{1-2x+x^d}$ 和 $g_d(x) = \frac{x^d}{1-2x+x^d}$。
• 对于 $T \subseteq S_3$ 且 $|T| = 2,3$ 的每种情况，本文刻画了 $\tau \in S_k(T)$ 的结构，表明 $\tau$ 必须是递减序列的拼接。
• 对于 $|T| \geq 4$，本文利用 Simion 和 Schmidt 的结果，即 $|S_n(T)| \in \{0,2\}$，并基于 $123$ 或 $321$ 是否属于 $T$ 进行案例分析，导出包含 Kronecker 符号的公式。
• 通过将递推关系转化为矩阵方程并利用行列式展开求解，推导出生成函数表达式。
• 表 1 中的分类是通过综合所有情况的结果，并比较不同 $T$ 和 $\tau$ 之间的基数构建而成。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $S_n$ 中，避免给定模式 $\tau \in S_k$ 和集合 $T \subseteq S_3$（$|T| \geq 2$）的排列的确切数量是多少？
• RQ2 序列 $|S_n(T,\tau)|$ 的生成函数如何依赖于 $\tau$ 的结构和 $T$ 的选择？
• RQ3 当 $\tau \in S_4$ 时，对 $(T,\tau)$ 对的完整 Wilf 类是什么？它们的基数如何变化？
• RQ4 对于所有此类 $T$ 和 $\tau$，能否将基数 $|S_n(T,\tau)|$ 表示为闭式公式或有理生成函数？
• RQ5 当 $|T| \geq 4$ 时，$|S_n(T,\tau)|$ 的行为如何？其表现如何依赖于 $T$ 中是否包含 $123$ 或 $321$？

主要发现

• 当 $T = \{123,132\}$ 且 $\tau \in S_k(T)$ 时，生成函数 $a_\tau(x)$ 由一个矩阵的行列式给出，其元素为 $f_{r_i}(x)$ 和 $g_{r_i}(x)$，其中 $f_d(x) = \frac{1-x}{1-2x+x^d}$，$g_d(x) = \frac{x^d}{1-2x+x^d}$。
• 当 $T = \{123,231,312\}$ 时，对所有 $n \geq k$ 和 $\tau = (r,\dots,2,1,k,\dots,r+1)$（$1 \leq r \leq k-1$），有 $|S_n(T,\tau)| = k-1$。
• 当 $T = \{132,213,231\}$ 时，对所有 $n \geq k$ 和 $\tau = (k,\dots,r+1,1,2,\dots,r)$（$1 \leq r \leq k$），有 $|S_n(T,\tau)| = k-1$。
• 当 $|T| \geq 4$ 时，若 $T$ 中不含 $123$ 也不含 $321$，则 $|S_n(T,\tau)| = 2 - \delta_{\tau,(1,2,\dots,k)} - \delta_{\tau,(k,\dots,2,1)}$；若两者均在 $T$ 中，则为 $0$。
• 本文提供了 $T \subseteq S_3$ 且 $\tau \in S_4$ 的 22 个 Wilf 类的完整分类，总结于表 1。
• 当 $T = \{123,132,213,231,1234\}$ 时，对所有 $n \geq k$，有 $|S_n(T,\tau)| = 2$；当 $T = \{123,132,213,231,4312\}$ 时，其值为 $1$。