[论文解读] Perron's method for stochastic viscosity solutions

Benjamin Seeger|arXiv (Cornell University)|May 3, 2016

Stochastic processes and financial applications被引用 3

一句话总结

本文将庞特里亚金方法应用于构造具有光滑哈密顿函数和单个实值路径的完全非线性二阶随机偏微分方程的随机粘性解。该方法利用哈密顿-雅可比方程中的有限传播速度特性，确保在较弱正则性条件下解的存在性与稳定性。

ABSTRACT

In this paper we use Perron's method to construct stochastic viscosity solutions of fully nonlinear second order SPDEs. The result holds for smooth Hamiltonians and for a single, real-valued path, and relies on the finite speed of propagation property for solutions of Hamilton-Jacobi equations.

研究动机与目标

• 建立具有光滑哈密顿函数的完全非线性二阶SPDE的随机粘性解的存在性。
• 将庞特里亚金方法——最初用于确定性PDE——扩展至具有单个实值路径的随机设定。
• 通过哈密顿-雅可比方程中的有限传播速度特性，确保解的稳定性和适定性。
• 在不依赖马氏或扩散型假设的前提下，提供随机粘性解的构造框架。

提出的方法

• 通过利用有限传播速度特性，将庞特里亚金方法适配于随机PDE，构造次解与超解。
• 该方法依赖于光滑哈密顿函数和单个实值驱动路径的存在，避免使用随机积分或鞅测度。
• 通过比较原理定义次解与超解，确保上包络为粘性解。
• 有限传播速度确保解的局部行为以有限速率传播，从而支持稳定性和存在性。
• 构造基于次解的逐点下确界与超解的逐点上确界，通过庞特里亚金包络形成解。

实验结果

研究问题

• RQ1 庞特里亚金方法能否扩展至构造完全非线性SPDE的随机粘性解？
• RQ2 哈密顿-雅可比方程中的有限传播速度如何支持随机粘性解的存在性？
• RQ3 哈密顿函数与路径结构的何种条件可确保解的稳定性和适定性？
• RQ4 单个实值路径是否足以定义随机粘性解，而无需完整的随机积分？

主要发现

• 本文成功利用庞特里亚金方法为具有光滑哈密顿函数的完全非线性SPDE构造了随机粘性解。
• 在假设仅存在单个实值路径的前提下，解存在，且无需使用随机积分或鞅测度。
• 有限传播速度确保解的局部行为不会瞬时传播，从而支持稳定性和比较原理。
• 所构造的解通过次解与超解的庞特里亚金包络满足随机粘性解的定义。