[论文解读] Backward stochastic differential equations under super linear G-expectation and associated Hamilton-Jacobi-Bellman equations

Yuhong Xu|arXiv (Cornell University)|Sep 6, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文在超线性 G-期望下建立了倒向随机微分方程（BSDEs）的存在性与唯一性，为哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的粘性解提供了概率表示，包括布莱克-斯科尔斯-巴伦布拉特方程。此外，通过相互奇异的概率测度，将 G-BSDEs 与随机控制问题联系起来，为不确定性驱动模型提供了新的费曼-卡茨型关联。

ABSTRACT

This paper first studies super linear G-expectation. Uniqueness and existence theorem for backward stochastic differential equations (BSDEs) under super linear expectation is established to provide probabilistic interpretation for the viscosity solution of a class of Hamilton-Jacobi-Bellman equations, including the well known Black-Scholes-Barrenblett equation, arising in the uncertainty volatility model in mathematical finance. We also show that BSDEs under super linear expectation could characterize a class of stochastic control problems. A direct connection between recursive super (sub) strategies with mutually singular probability measures and classical stochastic control problems is provided. By this result we give representation for solutions of Black-Scholes-Barrenblett equations and G-heat equations.

研究动机与目标

• 通过超线性 G-期望下的倒向随机微分方程（BSDEs），为模型不确定性下的哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程建立一个概率框架。
• 阐明超线性 G-期望与具有相互奇异概率测度的随机控制问题之间的联系，特别是通过相互奇异的概率测度。
• 利用 G-BSDEs 为布莱克-斯科尔斯-巴伦布拉特方程和 G-热方程的解提供一种新的费曼-卡茨表示。
• 研究在超线性期望下 G-布朗运动及其二次变差的性质，尤其关注二次变差的准必然可微性。
• 证明超线性 G-期望作为次线性 G-期望的补充工具，增强了对非线性期望和不确定性量化的理解。

提出的方法

• 将超线性 G-期望引入为一组风险中性概率测度的点态下确界：$\mathbb{E}_* [\cdot] = \inf_{P \in \mathcal{P}} \mathbb{E}_P [\cdot]$。
• 定义由前向扩散过程 $X_t^{t,x}$ 驱动的倒向随机微分方程（G-BSDEs），该过程包含漂移、扩散和二次变差分量。
• 利用基于容量的收敛定理和控制收敛定理，证明在超线性期望下 G-BSDEs 解的存在性与唯一性。
• 应用动态规划原理，将 G-BSDEs 与随机控制问题的值函数联系起来。
• 利用表示式 $\mathbb{E}_* [X] = \inf_P \mathbb{E}_P [X]$，将超策略解释为在相互奇异测度上的最优控制问题。
• 应用贝尔-坎泰利引理和容量收敛性，证明在超线性 G-期望下期望的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在超线性 G-期望下的倒向随机微分方程能否为一类二阶 HJB 方程提供概率解？
• RQ2 超线性 G-期望与具有相互奇异概率测度的随机控制问题之间有何关系？
• RQ3 在超线性期望背景下，G-布朗运动及其二次变差起什么作用？
• RQ4 当收敛为准必然收敛但非容量收敛时，控制收敛定理在超线性 G-期望下是否仍成立？
• RQ5 费曼-卡茨公式能否推广至非支配非线性期望，特别是针对布莱克-斯科尔斯-巴伦布拉特方程？

主要发现

• 在超线性 G-期望下，倒向随机微分方程（G-BSDEs）的解的存在性与唯一性得以确立，将经典概率方法拓展至非线性、模型不确定的设定。
• G-BSDE 的解在不确定性波动率模型下，为一类哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（包括布莱克-斯科尔斯-巴伦布拉特方程）提供粘性解。
• 证明了 G-布朗运动的二次变差 $\langle B \rangle_t$ 在每个 $t$ 处准必然可微，这是不确定性下随机分析的关键性质。
• 建立了超线性 G-期望、随机控制问题的值函数与 HJB 方程解之间的直接等价关系，揭示了一种新的概率解释。
• 反例表明，准必然收敛并不意味着在 $\mathbb{E}^*$ 下期望收敛，且 $\lim \mathbb{E}^*[X_\delta^t] \neq \mathbb{E}^*[\lim X_\delta^t]$，这在该语境下否定了控制收敛定理的适用性。
• 本文证明了 $\mathbb{E}^*$-布朗运动在 $\mathbb{E}_*$ 下是标准布朗运动，且 $\mathbb{E}_*$ 不被其自身控制，但被对应的次线性期望 $\mathbb{E}^* = -\mathbb{E}_*(-\cdot)$ 控制。