[论文解读] Persistence of Excitation in Reproducing Kernel Hilbert Spaces, Positive Limit Sets, and Smooth Manifolds

Andrew J. Kurdila, Jia Guo+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2019

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 30被引用 7

一句话总结

该论文证明了，当再生核希尔伯特空间（RKH）中包含丰富的一类截断函数时，持续激励（PE）集合是连续半流的正极限集的子集。论文进一步证明，PE条件可保证在不确定常微分方程（ODE）的RKHS空间嵌入中，自适应函数估计的收敛性，尤其当正极限集为光滑流形时，使用限制在流形上的Sobolev-Matern等外蕴核时，该结论成立。

ABSTRACT

This paper studies the relationship between the positive limit sets of continuous semiflows and the newly introduced definition of persistently excited (PE) sets and associated subspaces of reproducing kernel Hilbert (RKH) spaces. It is shown that if the RKH space contains a rich collection of cut-off functions, persistently excited sets are contained as subsets of the positive limit set of the semiflow. The paper demonstrates how the new PE condition can be used to guarantee convergence of function estimates in the RKH space embedding method for adaptive estimation. In particular, the paper is applied to uncertain ODE systems with positive limit sets given by certain types of smooth manifolds, and it establishes convergence of adaptive function estimates over the manifolds.

研究动机与目标

• 阐明半流中持续激励（PE）集合与正极限集之间的关系。
• 为不确定ODE系统中RKHS空间嵌入的自适应函数估计提供收敛的充分条件。
• 当正极限集为光滑流形时，开发选择RKHS空间和核的实际方法。
• 为在有限维近似中使用中心位于或靠近正极限集的径向基函数提供理论依据。
• 为RKHS嵌入方法在实际实现中选择基函数提供理论基础。

提出的方法

• 在RKHS空间中引入持续激励（PE）集合的新定义，并将其与半流的正极限集关联起来。
• 利用再生核希尔伯特空间（RKH）理论和迹算子，通过从环境空间限制核的方式，在光滑流形上定义RKHS空间。
• 在R^d上使用r > d/2的Sobolev-Matern核构造RKHS空间，并将其限制在m维紧致子流形M上。
• 证明受限RKHS空间R_M(H_X)同构于Sobolev空间W^{r-(d-m)/2,2}(M)，从而确保适当的光滑性。
• 利用迹算子T: W^{r,2}(R^d) → W^{r-(d-m)/2,2}(M)刻画受限RKHS空间中函数的正则性。
• 证明若前向轨道Γ⁺(x₀)持续激励受限RKHS空间R_M(H_X)，则正极限集ω⁺(x₀)等于流形M。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，持续激励集合包含于半流的正极限集中？
• RQ2 如何在光滑流形上构造RKHS空间，以支持不确定ODE系统中的自适应函数估计？
• RQ3 何种核结构可确保RKHS空间中包含PE分析所必需的丰富截断函数族？
• RQ4 RKHS空间中的PE条件能否保证无限维嵌入空间中函数估计的收敛性？
• RQ5 核的选择（如Sobolev-Matern核）如何影响嵌入流形上函数的正则性与逼近性质？

主要发现

• 若RKHS空间包含丰富的一类截断函数，则持续激励集合包含于正极限集ω⁺(x₀)中。
• 若前向轨道Γ⁺(x₀)持续激励受限RKHS空间R_M(H_X)，则正极限集ω⁺(x₀)等于流形M。
• 受限RKHS空间R_M(H_X)同构于Sobolev空间W^{r-(d-m)/2,2}(M)，从而精确刻画了流形M上函数的光滑性。
• 在R^d上使用r > d/2的Sobolev-Matern核可生成RKHS空间，其限制在光滑流形M上时，所得函数的正则性为r - (d-m)/2。
• 通过核限制定义RKHS空间的外蕴方法，特别适用于正极限集为光滑流形时的自适应估计。
• 理论框架为在RKHS嵌入方法的有限维近似中使用中心位于或靠近正极限集的径向基函数提供了理论支持。