[论文解读] Perturbative analysis of the colored Alexander polynomial and KP soliton $ au$-functions

V. Mishnyakov, А. Слепцов|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 55被引用 4

一句话总结

该论文在SU(N)规范场论的微扰展开中，建立了N→0极限下彩色亚历山大多项式与KP孤子τ函数之间的直接对应关系。证明了亚历山大多项式的群因子可作为1孤子τ函数的色散关系，通过杨图给出组合描述，并通过gl(∞)表示理论将纽结不变量与可积系统联系起来。

ABSTRACT

In this paper we study the group theoretic structures of colored HOMFLY polynomials in a specific limit. The group structures arise in the perturbative expansion of $SU(N)$ Chern-Simons Wilson loops, while the limit is $N ightarrow 0$. The result of the paper is twofold. First, we explain the emergence of Kadomsev-Petviashvily (KP) $ au$-functions. This result is an extension of what we did in arXiv:1805.02761, where a symbolic correspondence between KP equations and group factors was established. In this paper we prove that integrability of the colored Alexander polynomial is due to it's relation to soliton $ au$-functions. Mainly, the colored Alexander polynomial is embedded in the action of the KP generating function on the soliton $ au$-function. Secondly, we use this correspondence to provide a rather simple combinatoric description of the group factors in term of Young diagrams, which is otherwise described in terms of chord diagrams, where no simple description is known. This is a first step providing an explicit description of the group theoretic data of Wilson loops, which would effectively reduce them to a purely topological quantity, mainly to a collection of Vassiliev invariants.

研究动机与目标

• 建立彩色亚历山大多项式与KP孤子τ函数之间精确的数学对应关系。
• 解释彩色亚历山大多项式的可积性，源于其在KP生成函数作用于孤子τ函数时的嵌入结构。
• 以杨图形式提供群因子的组合描述，取代复杂的弦图形式化方法。
• 将威尔逊环的群论数据简化为拓扑不变量，特别是法伊辛不变量。
• 为通过KP层级和gl(∞)对称性完整描述HOMFLY多项式的可积结构奠定基础。

提出的方法

• 使用SU(N)规范场论中威尔逊环的微扰展开，在N→0极限下进行分析。
• 将展开中的群因子识别为KP层级中1孤子τ函数的色散关系。
• 采用KP方程与群因子之间的符号对应关系，扩展了先前工作[1]的结果。
• 利用杨图构造亚历山大方程的解，通过钩结构区分偶数解与奇数解。
• 证明奇数解可通过从偶数解中剪切杨图的最底层构造而成，对应于原始图的唯一项。
• 使用Hirota双线性形式，将亚历山大多项式的结构与KP τ函数框架联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在规范场论的N→0极限下，彩色亚历山大多项式如何与KP孤子τ函数相关联？
• RQ2 为何彩色亚历山大多项式是可积的？其可积性的群论基础是什么？
• RQ3 能否用杨图的简单组合描述替代传统上由弦图形式化描述的复杂群因子？
• RQ4 亚历山大方程的解如何对应于KP孤子τ函数的色散关系？
• RQ5 gl(∞)表示理论在编码威尔逊环不变量的群论结构中起什么作用？

主要发现

• 彩色亚历山大多项式的群因子被证明等价于KP层级中1孤子τ函数的色散关系。
• 亚历山大方程的偶数解空间由具有多于一个钩的杨图生成，记为Ye。
• 奇数解通过从杨图的最底层剪切偶数解构造而成，对应于原始图的唯一项，记为Yo。
• 亚历山大方程的完整解空间由两行两钩的图Y2生成，线性无关解由具有多于一个钩的图标记。
• 该对应关系表明，彩色亚历山大多项式的可积性源于其在KP生成函数作用于孤子τ函数时的嵌入结构。
• 结果暗示了量子纽结不变量与可积系统之间存在更深层的联系，且可推广至n孤子τ函数和链纽结不变量。