[论文解读] Perverse sheaves on Artin stacks

Yves Laszlo, Martin Olsson|ArXiv.org|Jun 8, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 9

一句话总结

本文在阿廷堆栈上关于有限或阿迪克系数的平展层导出范畴建立了反常 t-结构，推广了贝利诺森在概形上的理论。证明了堆栈上的反常层在光滑拓扑下构成一个层，从而实现了对阿廷堆栈上反常层的一致定义，并表明由此产生的 t-结构具有明确定义的心，该结果在有限域上堆栈的权重滤子和混合层理论中有应用。

ABSTRACT

In this paper we develop the theory of perverse sheaves on Artin stacks continuing the study in "The six operations for sheaves on Artin stacks I: Finite Coefficients" and "The six operations for sheaves on Artin stacks II: Adic Coefficients" (math.AG/0512097 and math.AG/0603680)

研究动机与目标

• 将贝利诺森的反常层理论从概形推广至阿廷堆栈，采用格罗滕迪克六操作框架。
• 在具有有限或阿迪克系数的阿廷堆栈上平展层的导出范畴中定义反常 t-结构。
• 证明该 t-结构的心即为阿廷堆栈上反常层的范畴，且与光滑拓扑下的粘合一致。
• 在有限域上的堆栈上建立混合反常层的权重滤子，推广概形情形的结果。
• 证明混合复形的全子范畴在反常截断下稳定，因此继承一个 t-结构。

提出的方法

• 利用光滑拓扑下的 t-结构粘合引理，将概形上的结果推广至堆栈。
• 应用 [10, 2.3.3] 中无界版本的粘合引理，定义阿廷堆栈上的反常层。
• 通过验证基变换与光滑覆盖下的 t-结构公理，在堆栈的层导出范畴上构造反常 t-结构。
• 利用平滑态射的拉回在反常 t-结构下是 t-正合的（至多相差一个移位）这一事实，如 [5, 4.2.5] 所建立。
• 同时处理有限系数（Λ_n）与阿迪克系数（Λ），通过层的投影系统定义导出范畴。
• 在粘合设置中应用对偶性构造所需的正合三角形，确保 t-结构公理成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将平展层导出范畴上的反常 t-结构从概形推广至阿廷堆栈？
• RQ2 阿廷堆栈上反常层的范畴是否良定义，且与光滑下降相容？
• RQ3 有限域上堆栈的混合反常层导出范畴是否可由反常 t-结构诱导出 t-结构？
• RQ4 在堆栈背景下，有限域上混合反常层的权重滤子结构如何？
• RQ5 堆栈上混合复形的范畴在反常截断下是否稳定？

主要发现

• 具有有限或阿迪克系数的平展层导出范畴上的反常 t-结构在阿廷堆栈上良定义，其心即为反常层的范畴。
• 阿廷堆栈上的反常层在光滑拓扑下构成一个层，从而可通过局部粘合实现一致的全局定义。
• 反常层的阿贝尔范畴的导出范畴与堆栈上层的导出范畴不等价，如 B𝐺𝑚 的例子所示。
• 有限域上堆栈上的混合反常层 admits 唯一的权重滤子，其分次项为权重递增的纯层。
• 堆栈上层导出范畴中混合复形的子范畴在反常截断下稳定，因此继承一个 t-结构。
• 堆栈上混合反常层的权重滤子与态射严格相容，推广了概形情形的结果。