[论文解读] Perverse Sheaves on Loop Grassmannians and Langlands Duality

Ivan Mirković, Kari Vilonen|ArXiv.org|Mar 9, 1997

Advanced Algebra and Geometry参考文献 4被引用 19

一句话总结

本文通过构造Langlands对偶群 $\check{G}$ 的表示范畴与环 Grassmannian $\mathcal{G}$ 上 $G(\mathcal{O})$-等变 perverse 调和层范畴之间的张量等价，利用卷积积与自然交换性约束，建立了几何 Satake 同构。关键结果将这些层的全局上同调与 $\check{G}$ 的不可约表示相联系，给出了由轨道交的不可约分支索引的典范基。

ABSTRACT

We outline a proof of a geometric version of the Satake isomorphism. Given a connected, complex algebraic reductive group G we show that the tensor category of representations of the dual group $\check G$ is naturally equivalent to a certain category of perverse sheaves on the loop Grassmannian of G. The above result has been announced by Ginsburg in \cite{G} and some of the arguments are borrowed from \cite{G}. However, we use a more "natural" commutativity constraint for the convolution product, due to Drinfeld. Secondly, we give a direct geometric proof that the global cohomology functor is exact and decompose this cohomology functor into a direct sum of weights. We avoid the use of the decomposition theorem of \cite{BBD} which makes our techniques applicable to perverse sheaves with coefficients over arbitrary commutative rings. This note includes sketches of (some of the) proofs. The details, as well as the generalization to representations over arbitrary fields and commutative rings will appear elsewhere.

研究动机与目标

• 通过环 Grassmannian 上的 perverse 调和层建立 Satake 同构的几何实现。
• 在不使用 BBD 的分解定理的前提下，直接给出全局上同调函子的正合性与权重分解的几何证明。
• 利用 Drinfeld 的构造，为卷积积定义自然的交换性约束，改进先前的方法。
• 将环 Grassmannian 上不可约 perverse 调和层的全局上同调与 Langlands 对偶群 $\check{G}$ 的不可约表示相联系，从而得到一个典范基。
• 证明上同调群由代数周期生成，具体为轨道交的不可约分支。

提出的方法

• 将环 Grassmannian $\mathcal{G} = G(\mathcal{K})/G(\mathcal{O})$ 定义为一个 ind-概形，其具有由余权 $\lambda \in X_*(T)$ 索引的 $G(\mathcal{O})$-轨道的分层结构。
• 通过图 $\mathcal{G} \times \mathcal{G} \leftarrow G(\mathcal{K}) \times_{G(\mathcal{O})} \mathcal{G} \xrightarrow{m} \mathcal{G}$ 构造 $G(\mathcal{O})$-等变 perverse 调和层上的卷积积，其中 $Rm_*\tilde{A}$ 为卷积。
• 利用 $p$ 和 $q$ 在 Zariski 拓扑下局部平凡的事实以保证 $\tilde{A}$ 的存在性，并通过分层半小性证明 $Rm_*\tilde{A}$ 是 perverse 的。
• 通过 $\mathfrak{g}_{\mathcal{K}}$ 上的留数形式在 $\mathcal{G}$ 上引入一个 Poisson 结构，将辛叶识别为 $G(\mathcal{O})$-轨道与 $K_-$-轨道的交。
• 利用 Poisson 结构建立维数估计，证明当 $\nu$ 为反权时，$S_\nu \cap \mathcal{G}_\lambda$ 是 $\mathcal{G}^\nu \cap \mathcal{G}_\lambda$ 中的 Lagrangian 子簇。
• 利用分解性质与纯性，将维数估计推广至一般 $\nu$，证明 $\dim(m^{-1}S_\nu \cap p^{-1}(\mathcal{G}_\lambda) \times_{G(\mathcal{O})} \mathcal{G}_\mu) = \operatorname{ht}(\lambda + \mu + \nu)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖 BBD 分解定理的前提下证明几何 Satake 同构？
• RQ2 在环 Grassmannian 的背景下，卷积积的正确自然交换性约束是什么？
• RQ3 环 Grassmannian 上不可约 perverse 调和层的全局上同调群如何实现 Langlands 对偶群的不可约表示？
• RQ4 对 $\check{G}$ 表示的典范基的几何起源是什么？
• RQ5 在 $\mathcal{G}$ 上的辛叶与 Poisson 结构如何控制卷积图中纤维积的维数？

主要发现

• 从 $G(\mathcal{O})$-等变 perverse 调和层到相对于轨道分层构造的层的遗忘函子是一个等价。
• 全局上同调函子 $\mathbb{H}^*(\mathcal{G}, -)$ 是正合的，并可分解为权重分量的直和，无需使用分解定理。
• 不可约 perverse 调和层 $\mathcal{V}_\lambda = j_{!*}\Bbbk_\lambda[\dim \mathcal{G}_\lambda]$ 在等价下对应于 $\check{G}$ 的不可约表示 $V_\lambda$。
• 表示空间 $V_\lambda$ 与全局上同调 $\mathbb{H}^*(\mathcal{G}, \mathcal{V}_\lambda)$ 之间存在典范同构，其分解为 $\bigoplus_{\nu \in X_*(T)} \Bbbk[\operatorname{Irr}(S_\nu \cap \mathcal{G}_\lambda)]$。
• 上同调 $\mathbb{H}^*(\mathcal{G}, \mathcal{V}_\lambda)$ 由代数周期生成，具体为交 $S_\nu \cap \mathcal{G}_\lambda$ 的不可约分支。
• 纤维积 $m^{-1}S_\nu \cap p^{-1}(\mathcal{G}_\lambda) \times_{G(\mathcal{O})} \mathcal{G}_\mu$ 具有纯维数 $\operatorname{ht}(\lambda + \mu + \nu)$，确立了关键的维数估计。