[论文解读] Phase Retrieval Meets Statistical Learning Theory: A Flexible Convex Relaxation

Sohail Bahmani, Justin Romberg|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 6被引用 55

一句话总结

该论文提出了一种灵活的凸松弛方法用于相位恢复，直接在信号的自然域中操作，避免了半定规划的计算负担。通过将问题表述为带有不等式约束的凸规划，这些约束代表对称的薄板（slabs），并使用一个锚向量来引导解，该方法在随机测量下实现了最优样本复杂度的精确恢复，其理论保证通过统计学习理论和仿真得到验证。

ABSTRACT

We propose a flexible convex relaxation for the phase retrieval problem that operates in the natural domain of the signal. Therefore, we avoid the prohibitive computational cost associated with "lifting" and semidefinite programming (SDP) in methods such as PhaseLift and compete with recently developed non-convex techniques for phase retrieval. We relax the quadratic equations for phaseless measurements to inequality constraints each of which representing a symmetric "slab". Through a simple convex program, our proposed estimator finds an extreme point of the intersection of these slabs that is best aligned with a given anchor vector. We characterize geometric conditions that certify success of the proposed estimator. Furthermore, using classic results in statistical learning theory, we show that for random measurements the geometric certificates hold with high probability at an optimal sample complexity. Phase transition of our estimator is evaluated through simulations. Our numerical experiments also suggest that the proposed method can solve phase retrieval problems with coded diffraction measurements as well.

研究动机与目标

• 解决基于半定规划的相位恢复方法（如PhaseLift）在可扩展性方面的局限性。
• 开发一种直接在信号域中操作而非提升到高维空间的凸松弛方法。
• 利用统计学习理论建立在随机测量下高概率恢复保证。
• 提供一种几何直观且计算高效的估计器，实现相位恢复的最优样本复杂度。
• 通过数值实验展示该方法在编码衍射测量中的适用性。

提出的方法

• 将二次无相位测量松弛为对称不等式约束，每个约束在复信号空间中定义一个“薄板”（slab）。
• 构建一个凸优化问题，通过在锚向量上最大化内积，同时满足薄板约束。
• 利用锚向量通过确保与目标信号的非零相关性，引导解朝真实信号方向收敛。
• 应用统计学习理论中的结果——特别是VC维和Rademacher复杂度——推导出高概率恢复保证。
• 刻画凸估计器能够以全局相位恢复真实信号的几何条件。
• 证明当测量数满足 $ M riangleq ilde{ heta}(N + rac{1}{ heta}) $ 时，该几何条件以高概率成立，其中 $ heta $ 是与锚向量相关性强弱相关的常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种相位恢复的凸松弛方法，以避免半定规划的计算成本，同时保持理论保证？
• RQ2 哪些几何条件可确保凸估计器以全局相位恢复真实信号？
• RQ3 所提出的方法是否利用统计学习理论工具，在随机测量下实现最优样本复杂度？
• RQ4 该估计器能否扩展以处理实际相位恢复设置中的编码衍射图样？
• RQ5 锚向量如何影响恢复性能和解的几何认证？

主要发现

• 当测量数满足 $ M riangleq ilde{ heta}(N + rac{1}{ heta}) $ 时，所提出的凸估计器以高概率准确恢复真实信号，其中 $ heta $ 是与锚向量和信号相关性相关的常数。
• 成功恢复的几何条件等价于不存在一个特定的受限半空间包含所有 $ m{a}_i m{a}_i^* m{x}_ ext{star} $，该条件在随机测量下以高概率成立。
• 该方法实现了最优样本复杂度，与高斯测量下相位恢复的已知信息论极限一致。
• 数值仿真表明，即使在编码衍射图样下，该估计器仍表现良好，表明其具有实际鲁棒性。
• 理论分析依赖于统计学习理论的经典结果，包括VC维和Rademacher复杂度，以界定向估计器的泛化误差。
• 该方法具有可扩展性和计算高效性，直接在 $ bC^N $ 域中操作，无需提升，与基于SDP的方法（如PhaseLift）不同。