[论文解读] Phase Retrieval of Real-Valued Signals in a Shift-Invariant Space

Yang Chen, Cheng Cheng+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2016

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 44被引用 12

一句话总结

本文建立了在移位不变空间中从无相位样本进行实信号相位恢复的条件，证明非可分信号可唯一恢复至符号差异。提出一种鲁棒的分布式算法，可在采样率低至 $2N-1$ 时从含噪无相位样本中重建 $N$ 阶样条信号，误差界依赖于噪声水平和信号参数。

ABSTRACT

Phase retrieval arises in various fields of science and engineering and it is well studied in a finite-dimensional setting. In this paper, we consider an infinite-dimensional phase retrieval problem to reconstruct real-valued signals living in a shift-invariant space from its phaseless samples taken either on the whole line or on a set with finite sampling rate. We find the equivalence between nonseparability of signals in a linear space and its phase retrievability with phaseless samples taken on the whole line. For a spline signal of order $N$, we show that it can be well approximated, up to a sign, from its noisy phaseless samples taken on a set with sampling rate $2N-1$. We propose an algorithm to reconstruct nonseparable signals in a shift-invariant space generated by a compactly supported continuous function. The proposed algorithm is robust against bounded sampling noise and it could be implemented in a distributed manner.

研究动机与目标

• 表征移位不变空间中实值信号在何种条件下可从无相位样本中唯一恢复。
• 为有界采样噪声下的非可分信号开发稳定且分布式的重构算法。
• 确定生成于紧支集连续生成元的移位不变空间中相位恢复所需的最小采样率。
• 将有限维相位恢复结果推广至无限维情形，特别是针对样条信号。
• 分析在移位不变空间中，对幅度测量存在有界噪声时相位恢复的稳定性。

提出的方法

• 证明移位不变空间中的信号可唯一恢复至符号差异当且仅当其为非可分信号，即不能分解为两个具有不相交支集的非零信号之和。
• 通过在采样率为 $2N-1$ 的集合上采样，建立 $N$ 阶样条信号的相位可恢复性，具体为在 $Y_1 = X + \mathbb{Z}$ 上采样，其中 $X$ 在 $(0,1)$ 内包含 $2N-1$ 个互异点。
• 提出 MEPS 算法（多尺度估计与相位合成）通过信号分段和迭代估计系数，从含噪无相位样本中重构信号。
• 采用重叠窗口的分块系数估计策略以确保稳定性，利用由生成元性质导出的 $N \times N$ 矩阵 $\Phi_N$ 的可逆性。
• 应用归纳法与内积分析，界定估计系数与真实系数之间的误差，表明 $\ell^2$-误差随噪声水平 $|\boldsymbol{\epsilon}|$ 衰减。
• 通过重叠区域内的符号一致性，调整各段之间的全局相位，以恢复信号的正确全局符号。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，移位不变空间中的实值信号可从其幅度测量中唯一恢复？
• RQ2 在生成元为紧支集连续函数的移位不变空间中，非可分信号能否在低于 $2N-1$ 的采样率下从无相位样本中重建？
• RQ3 对于 $N$ 阶样条信号，稳定相位恢复所需的最小采样率是多少？
• RQ4 如何使相位恢复对幅度测量中的有界加性噪声具有鲁棒性？
• RQ5 能否以分布式、可扩展的方式实现无限维信号的重构过程？

主要发现

• 实值信号 $f \in V(\phi)$ 可从所有 $t \in \mathbb{R}$ 的 $|f(t)|$ 唯一恢复至符号差异，当且仅当其为非可分信号，即不能分解为两个非零信号且支集不相交的和。
• 对于 $N$ 阶样条信号，若在采样率为 $2N-1$ 的集合上采样无相位样本，即可实现相位恢复，具体为在 $Y_1 = X + \mathbb{Z}$ 上采样，其中 $X$ 在 $(0,1)$ 内包含 $2N-1$ 个互异点。
• 所提出的 MEPS 算法可从含噪无相位样本中重构 $V(\phi)$ 中的非可分信号，其 $\ell^2$-误差被界于 $C \sqrt{|\boldsymbol{\epsilon}|}$ 之内，其中 $C$ 依赖于 $\|\Phi_N^{-1}\|、C_{f,\phi}$ 和 $N$，而 $|\boldsymbol{\epsilon}|$ 为噪声水平。
• 该算法对有界采样噪声具有鲁棒性，且可跨重叠信号段以分布式方式实现。
• 对于线性样条（$N=2$），在非均匀集合 $Y_\infty = X \cup (\Gamma + \mathbb{Z}_+) \cup (\Gamma^* + \mathbb{Z}_-)$ 上采样率 2 时即可实现相位恢复，其中 $X$ 包含 $2N-1=3$ 个点。
• 通过确保重叠系数估计区域间符号一致，恢复全局相位，最终误差界显示 $\ell^2$-收敛性随噪声降低趋近真实信号。