[论文解读] Phase space for the Einstein equations

Robert Bartnik|ArXiv.org|Feb 16, 2004

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文为广义相对论中渐近平坦初值的相空间建立了严格的希尔伯特流形框架，证明约束流形是光滑子流形，且ADM能量-动量在其上光滑。文中引入了一个正则化哈密顿量，其能生成任何渐近于时间平移的 lapse-shift 的正确演化方程，并表明ADM质量在约束流形上的临界点恰好对应于真空静态时空的初值数据。

ABSTRACT

A Hilbert manifold structure is described for the ADM phase space of asymptotically flat initial data $(g,π)$ with local $H^2 imes H^1$ Sobolev regularity. Solutions of the constraint equations form a Hilbert submanifold. A regularized RT Hamiltonian is defined and smooth on the full phase space and generates the Einstein evolution for any lapse-shift asymptotic to a (time) translation at infinity. Critical points for the total (ADM) mass, considered as a function on the Hilbert manifold of constraint solutions, arise precisely at initial data generating stationary vacuum spacetimes.

研究动机与目标

• 为广义相对论中渐近平坦初值的相空间提供一个严格的希尔伯特流形结构。
• 在约束流形上建立ADM能量-动量和哈密顿量的光滑性，并将其扩展到全相空间上的正则化版本。
• 将ADM质量在约束流形上的临界点表征为对应于真空静态时空初值数据的点。
• 将拉格朗日乘子法推广至巴拿赫空间，以严格关联受约束的能量临界点与基灵初值数据。

提出的方法

• 构建相空间 $\mathcal{F} = H^2 \times H^1$，并施加衰减条件以描述渐近平坦初值。
• 通过线性化稳定性证明约束集 $\mathcal{C} \subset \mathcal{F}$（由 $\Phi(g,\pi) = 0$ 定义）是光滑希尔伯特子流形。
• 将ADM能量-动量定义为 $\mathcal{C}$ 上的光滑 $C^\infty$ 函数，但在 $\mathcal{F}$ 的全体上不为有限值。
• 引入一个在 $\mathcal{F}$ 上光滑的正则化哈密顿量 $\mathcal{H}(g,\pi;\xi)$，其在 $\mathcal{C}$ 上与 Regge-Teitelboim 哈密顿量一致。
• 在巴拿赫空间中使用广义拉格朗日乘子法，将正则化哈密顿量的临界点与基灵初值方程的解关联起来。
• 应用隐函数定理以确保 $\mathcal{C}$ 是子流形，并利用对偶性推导出拉格朗日乘子 $\lambda$ 的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 渐近平坦初值的爱因斯坦方程相空间能否赋予希尔伯特流形结构？
• RQ2 约束流形 $\mathcal{C}$ 是否为相空间 $\mathcal{F}$ 的光滑子流形？
• RQ3 能否在 $\mathcal{F}$ 上定义一个正则化哈密顿量，使其对渐近于时间平移的 lapse-shift 生成正确的演化方程？
• RQ4 ADM质量在 $\mathcal{C}$ 上的临界点是否对应于生成真空静态时空的初值数据？
• RQ5 能否通过变分方法严格建立 Brill-Deser-Fadeev 恒等式，以关联能量临界点与基灵初值数据？

主要发现

• 约束集 $\mathcal{C}$ 是相空间 $\mathcal{F}$ 的光滑希尔伯特子流形，由定理 3.12 证明。
• ADM能量-动量是 $\mathcal{C}$ 上的光滑 $C^\infty$ 函数，如定理 4.1 所示。
• 正则化哈密顿量 $\mathcal{H}(g,\pi;\xi)$ 在 $\mathcal{F}$ 上 $C^\infty$，且对任意渐近于时间平移的 lapse-shift $\xi$ 生成正确的演化方程，如定理 5.2 所示。
• ADM质量在 $\mathcal{C}$ 上的临界点恰好对应于生成真空静态时空的初值数据，如定理 6.1 所证明。
• 在巴拿赫空间中推广的拉格朗日乘子法确认：正则化哈密顿量在 $\mathcal{C}$ 上的临界点对应于满足 $D\Phi(g,\pi)^*\xi = 0$ 的解，即基灵初值数据。
• 通过证明 $Dm_{\text{ADM}}(g,\pi) = 0$ 在 $\mathcal{C}$ 上成立当且仅当 $\xi$ 是广义基灵向量且 $\xi_\infty$ 与 $({\mathbb{P}}^\alpha)$ 成比例，严谨地确立了 Brill-Deser-Fadeev 恒等式。