[论文解读] Phase-type fitting of scale functions for spectrally negative Levy processes

Masahiko Egami, Kazutoshi Yamazaki|arXiv (Cornell University)|May 1, 2010

Probability and Risk Models参考文献 29被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种相型（PH）拟合方法，用于近似一般谱负Lévy过程的尺度函数及其相关波动恒等式。通过利用PH Lévy过程中尺度函数的解析可处理性——其Laplace指数为有理函数——该方法借助部分分式分解获得闭式表达式，即使在相数适中时也能对均匀或对数正态跳跃等复杂分布实现高度精确的近似。

ABSTRACT

We study the scale function of the spectrally negative phase-type Levy process. Its scale function admits an analytical expression and so do a number of its fluctuation identities. Motivated by the fact that the class of phase-type distributions is dense in the class of all positive-valued distributions, we propose a new approach to approximating the scale function and the associated fluctuation identities for a general spectrally negative Levy process. Numerical examples are provided to illustrate the effectiveness of the approximation method.

研究动机与目标

• 解决一般谱负Lévy过程的尺度函数通常仅通过Laplace变换已知，需依赖数值反演的问题。
• 通过使用具有解析可处理性的尺度函数的PH拟合，克服标准数值Laplace反演中的双重误差源——Laplace指数的近似误差和反演误差。
• 证明相型分布的稠密类可在适当条件下对任意谱负Lévy过程的尺度函数实现高精度近似。
• 提供一种实用的闭式近似方法，使涉及再生测度积分的波动恒等式能够实现解析计算。
• 通过使用EM算法进行PH拟合的数值实验，评估该方法在均匀分布跳跃等困难情况下的准确性和效率。

提出的方法

• 该方法使用相型分布近似一般谱负Lévy过程的Lévy测度，从而得到具有有理Laplace指数的谱负PH Lévy过程。
• 由于Laplace指数的有理结构，PH Lévy过程的尺度函数可通过Laplace反演后进行部分分式分解，以闭式形式计算。
• PH拟合过程使用EM算法匹配目标Lévy测度的矩或密度，确保收敛至合适的相型近似。
• 通过选择中等数量的相数（m=3至m=9）最小化近似误差，该方法依赖于PH分布在正值分布中的稠密性。
• 通过使用PH分布的显式Laplace变换，避免了数值Laplace反演误差，使总误差仅剩拟合误差。
• 通过将基于PH近似的解析波动恒等式（如尺度函数、首达概率）与模拟结果进行比较，验证了该方法的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正分布空间中相型分布具有稠密性这一前提下，是否能通过相型分布对一般谱负Lévy过程的尺度函数实现高精度近似？
• RQ2 在计算尺度函数和波动恒等式时，PH拟合方法与标准数值Laplace反演相比，在准确性和误差来源方面有何差异？
• RQ3 对于已知难以拟合的分布（如均匀或对数正态分布），PH拟合方法的性能如何？
• RQ4 基于PH的尺度函数的闭式结构在多大程度上可实现涉及再生测度或首穿值的复杂恒等式的解析计算？
• RQ5 当相数较少（如m=3）时，该方法是否仍能保持高精度，特别是对于无显式尺度函数的过程？

主要发现

• 对于σ=1且λ=10的正态和Weibull跳跃分布，当使用m=9个相数时，PH拟合方法在尺度函数Φ(q)上的相对误差小于0.05%。
• 对于对数正态跳跃分布，使用m=9个相数时，得到Φ(q)=1.2194（常规）和1.2194（Coxian），与模拟值高度一致。
• 对于均匀跳跃分布，使用m=9个相数时，Φ(q)=1.0386，尽管已知有界分布较难拟合，但结果仍表现出高精度。
• 即使仅使用m=3个相数，该方法在均匀情况下也得到Φ(q)=1.0678，表明在计算成本极低的情况下仍具有合理精度。
• 该方法在近似复杂波动恒等式方面表现出鲁棒性，包括尺度函数分解中涉及复共轭根的情况，ξi,q的数值在常规和Coxian表示之间高度一致。
• 基于EM算法的PH拟合成功近似了所有测试分布的Lévy测度，与蒙特卡罗模拟相比，所得尺度函数值偏差极小。