[论文解读] PhyGeoNet: Physics-Informed Geometry-Adaptive Convolutional Neural Networks for Solving Parametric PDEs on Irregular Domain

Han Gao, Luning Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 21, 2020

Model Reduction and Neural Networks参考文献 24被引用 21

一句话总结

该论文提出 PhyGeoNet，一种物理信息驱动、几何自适应的卷积神经网络，通过椭圆坐标变换将不规则区域上的参数化PDE问题映射到规则参考域上求解。该方法在保持无数据和物理约束的前提下，利用CNN的归纳偏置，相比全连接PINNs实现了更高的精度和效率。

ABSTRACT

Recently, the advent of deep learning has spurred interest in the development of physics-informed neural networks (PINN) for efficiently solving partial differential equations (PDEs), particularly in a parametric setting. Among all different classes of deep neural networks, the convolutional neural network (CNN) has attracted increasing attention in the scientific machine learning community, since the parameter-sharing feature in CNN enables efficient learning for problems with large-scale spatiotemporal fields. However, one of the biggest challenges is that CNN only can handle regular geometries with image-like format (i.e., rectangular domains with uniform grids). In this paper, we propose a novel physics-constrained CNN learning architecture, aiming to learn solutions of \emph{parametric PDEs on irregular domains without any labeled data}. In order to leverage powerful classic CNN backbones, elliptic coordinate mapping is introduced to enable coordinate transforms between the irregular physical domain and regular reference domain. The proposed method has been assessed by solving a number of PDEs on irregular domains, including heat equations and steady Navier-Stokes equations with parameterized boundary conditions and varying geometries. Moreover, the proposed method has also been compared against the state-of-the-art PINN with fully-connected neural network (FC-NN) formulation. The numerical results demonstrate the effectiveness of the proposed approach and exhibit notable superiority over the FC-NN based PINN in terms of efficiency and accuracy.

研究动机与目标

• 为解决标准CNN在处理不规则几何形状求解PDE时的局限性。
• 实现在复杂区域上无数据、物理约束的参数化PDE解的物理信息学习。
• 结合CNN的归纳偏置与几何适应性，以提升泛化能力和效率。
• 将深度学习在PDE求解中的适用范围扩展至具有可变几何形状和参数化边界条件的问题。

提出的方法

• 该方法采用椭圆坐标映射，将不规则物理域转换为适合CNN处理的规则参考域。
• 应用物理信息损失函数，直接在模型训练中强制满足PDE约束、边界条件和初始条件。
• 网络架构在映射后的参考域上使用标准CNN主干网络，保留参数共享与空间归纳偏置。
• 网络端到端训练，无需任何标注解数据，仅依赖PDE残差和边界约束。
• 坐标变换具有可微性，支持在训练过程中通过几何映射进行反向传播。
• 通过为每种配置重新映射域，该方法支持具有可变几何形状和边界条件的参数化PDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于CNN的架构是否能在无标注数据的情况下，有效求解不规则域上的参数化PDE？
• RQ2 与全连接PINNs相比，具有几何映射的CNN在精度和收敛速度方面表现如何？
• RQ3 使用坐标变换在复杂几何形状上在多大程度上保持了解的保真度？
• RQ4 该方法是否能跨不同域形状和参数化边界条件实现良好泛化？

主要发现

• PhyGeoNet 在不规则域上求解参数化PDE时，相比基于FC-NN的PINNs实现了显著更高的解精度，尤其在复杂几何形状下表现更优。
• 由于CNN在空间特征学习中的归纳偏置，该方法表现出更快的收敛速度和更短的训练时间。
• 椭圆坐标映射的使用使得CNN能有效应用于非矩形域，同时保持可微性。
• 模型在无需微调的情况下，对不同域形状和参数化边界条件均表现出良好的泛化能力。
• 物理信息损失确保了PDE残差和边界条件以高精度被满足。