[论文解读] Picking Planar Edges; or, Drawing a Graph with a Planar Subgraph

Marcus Schaefer|arXiv (Cornell University)|Nov 26, 2013

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文提出了一种多项式时间算法，用于判断是否可以绘制一个图，使得指定的边子集为无交叉边，采用 GF(2) 上的 Hanani-Tutte 方法。证明了部分平面性问题可在多项式时间内求解，而其几何变体——要求边子集在直线绘制中每条边最多只有一个交叉——则与实数存在理论一样困难。

ABSTRACT

Given a graph $G$ and a subset $F \subseteq E(G)$ of its edges, is there a drawing of $G$ in which all edges of $F$ are free of crossings? We show that this question can be solved in polynomial time using a Hanani-Tutte style approach. If we require the drawing of $G$ to be straight-line, and allow at most one crossing along each edge in $F$, the problem turns out to be as hard as the existential theory of the real numbers.

研究动机与目标

• 确定绘制图使得给定边子集无交叉的计算复杂性。
• 研究部分平面性问题——仅要求边子集为平面——是否可高效求解。
• 探索图绘制中平面性约束的可 tractable 与不可 tractable 变体之间的边界。
• 比较部分平面性问题的折线版本与直线版本的复杂性。
• 考察与相关问题（如部分嵌入平面性与固定边的同步嵌入）的联系。

提出的方法

• 将问题表述为 GF(2) 上的线性方程组，通过 (e,v)-移动建模边交叉奇偶性。
• 定义一个系统 P(D,F)，强制独立边之间具有偶数交叉奇偶性，其中一条边属于指定子集 F。
• 利用 Hanani-Tutte 刻画：当且仅当 P(D,F) 在 GF(2) 上可解时，图存在使得 F 中所有边无交叉的绘制。
• 利用有限域上线性系统可解性可在多项式时间内测试的事实。
• 应用拓扑与组合论证，表明可解性蕴含存在有效绘制。
• 使用伪线排列与可拉伸性论证分析几何变体及其复杂性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以以多项式时间求解部分平面性问题——即绘制图使得指定边子集无交叉？
• RQ2 要求直线绘制的几何变体是否比折线变体计算上更困难？
• RQ3 当边子集中的每条边最多允许一个交叉时，几何部分平面性问题的计算复杂性是什么？
• RQ4 Hanani-Tutte 方法是否可扩展至具有几何约束的 1-平面图？
• RQ5 传统的数据结构（如 PQ-树或 SPQR-树）能否高效求解部分平面性问题？

主要发现

• 使用 GF(2) 上的 Hanani-Tutte 风格线性系统，部分平面性问题——即绘制图使得指定边子集无交叉——可在多项式时间内求解。
• 系统 P(D,F) 在 GF(2) 上的可解性是存在一种所有 F 中边无交叉的绘制的必要且充分条件。
• 该问题的几何变体，要求直线绘制且 F 中每条边最多一个交叉，其复杂性与实数存在理论（∃R）相当。
• 几何 1-平面性为 NP-完全，但一般几何部分平面性问题很可能为 ∃R-难，基于面积下界与结构复杂性。
• 该问题等价于同步嵌入与固定边问题的一个特例（即蒲公英情形），暗示其与该框架可能存在算法关联。
• 本文未完全证明几何部分平面性为 ∃R-难，但有强烈证据表明其复杂度属于此类别。