[论文解读] Piecewise polynomial interpolation in Muckenhoupt weighted Sobolev spaces and applications

Ricardo H. Nochetto, Enrique Otárola+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 38被引用 4

一句话总结

该论文为任意多项式次数构建了在Muckenhoupt加权Sobolev空间中的构造性分段多项式逼近理论，利用加权Poincaré不等式、抵消性质及归纳法，推导出最优误差估计。该理论构造了一个在单纯形和矩形单元网格上的拟插值算子，实现了最优各向异性误差界，并应用于非均匀椭圆问题、奇异源项及椭圆算子的分数阶幂，其在 graded 网格上达到准最优收敛速率。

ABSTRACT

We develop a constructive piecewise polynomial approximation theory in weighted Sobolev spaces with Muckenhoupt weights for any polynomial degree. The main ingredients to derive optimal error estimates for an averaged Taylor polynomial are a suitable weighted Poincare inequality, a cancellation property and a simple induction argument. We also construct a quasi-interpolation operator, built on local averages over stars, which is well defined for functions in $L^1$. We derive optimal error estimates for any polynomial degree on simplicial shape regular meshes. On rectangular meshes, these estimates are valid under the condition that neighboring elements have comparable size, which yields optimal anisotropic error estimates over $n$-rectangular domains. The interpolation theory extends to cases when the error and function regularity require different weights. We conclude with three applications: nonuniform elliptic boundary value problems, elliptic problems with singular sources, and fractional powers of elliptic operators.

研究动机与目标

• 建立适用于任意多项式次数的Muckenhoupt加权Sobolev空间中分段多项式插值的稳健逼近理论。
• 解决在Muckenhoupt权函数下的加权Sobolev空间中缺乏系统性多项式逼近工具的问题，特别是针对非均匀椭圆问题。
• 基于星形邻域上的局部平均构造一个拟插值算子，对 $L^1$ 函数有良好定义，确保稳定性与最优收敛性。
• 将理论推广至函数正则性与误差正则性需使用不同权函数的情形，增强其在奇异与退化PDE中的适用性。
• 将理论应用于三个关键问题：非均匀椭圆边值问题、具有奇异源项的椭圆方程，以及椭圆算子的分数阶幂。

提出的方法

• 利用专为Muckenhoupt $A_p$ 权函数设计的加权Poincaré不等式，控制加权范数下函数的变化。
• 在平均泰勒多项式构造中利用抵消性质，提升逼近精度。
• 通过在网格细化层级上应用归纳法，推导出任意多项式次数 $k \geq 0$ 的最优误差估计。
• 通过在星形邻域上进行局部平均构造拟插值算子，确保在 $L^1$ 中的稳定性及在加权Sobolev范数下的最优逼近。
• 在相邻单元大小相近的条件下，于矩形单元网格上推导出各向异性误差估计，使各向异性问题实现最优收敛。
• 通过在扩展变量中使用graded网格，结合笛卡尔结构实现各向异性误差控制，将理论应用于分数阶拉普拉斯算子的扩展问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意多项式次数在Muckenhoupt加权Sobolev空间中推导出最优分段多项式逼近误差估计？
• RQ2 如何构造一个对 $L^1$ 函数有良好定义且在单纯形与矩形单元网格上实现最优收敛的拟插值算子？
• RQ3 在何种网格几何条件下（如形状正则性、大小比较）可确保在加权Sobolev空间中实现最优各向异性误差估计？
• RQ4 该逼近理论能否推广至函数正则性与误差正则性需使用不同权函数的情形？
• RQ5 使用该插值框架时，非均匀椭圆问题与分数阶椭圆算子的Galerkin有限元逼近的最优收敛速率为何？

主要发现

• 通过加权Poincaré不等式、抵消性质与归纳法，推导出在Muckenhoupt加权Sobolev空间中分段多项式插值的最优误差估计。
• 构造了一个对 $L^1$ 函数有良好定义的拟插值算子，并在形状正则的单纯形网格上实现最优收敛。
• 在矩形单元网格上，当相邻单元大小相近时，获得最优各向异性误差估计，使各向异性问题实现最优收敛。
• 理论可推广至函数与误差正则性需使用不同权函数的情形，显著拓宽了其在奇异与退化PDE中的适用性。
• 对于通过调和扩展求解分数阶拉普拉斯算子的问题，在扩展方向使用graded网格，可实现阶为 $O((\#\mathscr{T}_{\mathpzc{Y}})^{-1/(n+1)})$ 的准最优收敛速率，包含对数项。
• 分数阶问题解的误差估计为 $\|u - U_{\mathscr{T}}(\cdot,0)\|_{\mathbb{H}^{s}(\Omega)} \lesssim |\log(\#\mathscr{T}_{\mathpzc{Y}})|^s (\#\mathscr{T}_{\mathpzc{Y}})^{-1/(n+1)} \|f\|_{\mathbb{H}^{1-s}(\Omega)}$，证实了在正则性与收敛阶方面均达到准最优性。