[论文解读] Planar graphs and covers

M. J. Dunwoody|ArXiv.org|Aug 7, 2007

Finite Group Theory Research参考文献 15被引用 15

一句话总结

本文建立了在自同构群作用下具有有限商的局部有限、平面图的结构分类，表明其可通过G-树分解为3-连通、平面或循环的分量。关键结果是利用平面离散群和循环群的自由积，对具有平面Cayley图的有限生成群进行了完全分类。

ABSTRACT

Planar locally finite graphs which are almost vertex transitive are discussed. If the graph is 3-connected and has at most one end then the group of automorphisms is a planar discontinuous group and its structure is well-known. A general result is obtained for such graphs where no restriction is put on the number of ends. It is shown that such a graph can be built up from one ended or finite planar graphs in a precise way. The results give a classification of the finitely generated groups with planar Cayley graphs.

研究动机与目标

• 对允许存在3-连通、局部有限、平面Cayley图的有限生成群进行分类。
• 将此分类扩展至所有局部有限、平面Cayley图，而无需要求3-连通性。
• 通过G-树和顶点层面的分量，分析具有有限自同构商的平面图的结构。
• 证明此类图是可访问的，并通过有限边割分解为3-连通或循环子图。
• 表明自同构群的作用方式允许通过图的群的基本群进行分类。

提出的方法

• 从具有有限余边界的一组G-有限子图出发，通过大小为1或2的断开顶点集构造G-树T。
• 将T中的每个顶点v与X的一个子图Z_v关联，该子图为3-连通平面图、环或割点。
• 利用面路径和平面嵌入，确保自同构保持图结构和面环。
• 应用Maskit的平面性定理，表明平面覆叠来自紧致曲面的正则覆叠。
• 利用可访问图的理论和具有有限余边界的子集的布尔环理论，限制此类分解的数量。
• 应用可访问群的结构定理，表明G是具有有限边群和顶点群为平面离散群或有限个循环群自由积的图的群的基本群。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些有限生成群允许存在3-连通、局部有限、平面Cayley图？
• RQ2 当3-连通性不成立时，如何分解具有有限自同构商的局部有限、平面图的结构？
• RQ3 紧致曲面的平面覆叠与平面图的自同构群之间有何关系？
• RQ4 是否可以将平面Cayley图的分类扩展至超越3-连通图的情形？
• RQ5 在自同构群作用下，局部有限平面图具有有限商时，其可访问性的条件是什么？

主要发现

• 任何具有有限商G\X的3-连通、局部有限、平面图X都是紧致曲面的正则平面覆叠，且G为平面离散群。
• 对于任何具有有限自同构商G\X的局部有限、平面图X，图X是可访问的，并存在一个G-树分解，其顶点稳定子作用于3-连通或循环子图上。
• 此类图的自同构群G是图的群的基本群，其中顶点群为平面离散群或有限个循环群的自由积，边群为有限循环群（可能平凡）。
• 若作用是自由的（如在Cayley图中），则G或其指数为2的子群是图的群的基本群，其顶点群为平面离散群或循环群的自由积，边群阶数至多为2。
• 此类分解的数量是有限的，且3-连通分量（3-块）由图及其自同构群的结构唯一确定。
• 该理论推广了Tutte对2-连通图的分析，并为Droms–Servatius–Servatius关于具有有限商的平面图的结果提供了新证明。