[论文解读] Plane quartic twists of X(5,3)

J.A. Fernandez, Josep González+1 more|ArXiv.org|Jan 28, 2005

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 3

一句话总结

本文提出一种方法，用于在 ℚ 上构造模曲线 X(5,3) 的扭 X(5,3)ρ 的显式平面四次曲线模型，该扭对应于奇的、满射的伽罗华表示 ϱ: Gℚ → PGL₂(𝔽₃)。利用定义表示 ϱ 的四次多项式，该方法通过伽罗华上同调与自同构群作用计算扭曲线的有理模型，得到一个具有显式有理点的三亏格曲线。关键贡献在于构建了一个计算框架，用于确定实现给定射影模 3 伽罗华表示的五次 ℚ-曲线。

ABSTRACT

Given an odd representation of the absolute Galois group of Q onto PGL(2,3) and a positive integer N, there exists a twisted modular curve defined over Q whose rational points classify the quadratic Q-curves of degree N realizing the representation. The paper gives a method to provide an explicit plane quartic model for this curve in the genus-three case N=5.

研究动机与目标

• 为 N=5 且 p=3 时的扭模曲线 X(N,p)ρ 提供显式有理平面四次曲线模型的构造方法。
• 解决实现给定奇的、满射的伽罗华表示 ϱ: Gℚ → PGL₂(𝔽₃) 的五次二次 ℚ-曲线的分类问题。
• 开发一个计算框架，利用伽罗华上同调与自同构群作用，从 ϱ 的分裂域生成此类模型。
• 通过一个具体的四次多项式示例，展示方法的可行性，得到一个明确的四次方程。

提出的方法

• 该方法使用 1-上循环 ξ = ϱ ∘ ε ∈ H¹(Gℚ, W(5,3)) 构造扭 X(5,3)ρ，其中 W(5,3) ≅ PGL₂(𝔽₃) 是 X(5,3) → X⁺(5) 的自同构群。
• 以 X(5,3) 的有理模型为起点，该模型源自 X₀(5) 和 X(3) 的典范模型，并选择一个对应于 PGL₂(𝔽₃) 中阶为 2 的矩阵的对合。
• 构造过程涉及计算一个 Gℚ-等变同构 Ψ: X(5,3)ρ → X(5,3)，通过一个在 GL₄(ℚ) 中的矩阵 Θ 实现，该矩阵编码了伽罗华群在自同构群上的作用。
• 最终模型通过使用 Θ 变换 X(5,3) 的原始平面四次曲线模型得到，得到一个系数属于 ℤ 的 ℚ 上的新的四次方程。
• 该方法依赖于给定四次多项式 f(X) ∈ ℤ[X] 的分裂域，该分裂域必须与 ϱ 的分裂域相同，以定义所需的伽罗华作用。
• 通过 Magma 等计算代数系统验证该构造，通过计算有理点并分析雅可比秩来验证所得模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为与给定奇的、满射的伽罗华表示 ϱ: Gℚ → PGL₂(𝔽₃) 关联的模曲线 X(5,3) 的扭 X(5,3)ρ 显式构造一个 ℚ 上的平面四次曲线模型？
• RQ2 ϱ 的分裂域与 X(5,3)ρ 上有理点的定义域之间有何关系？
• RQ3 当其雅可比簇的秩至少为三时，能否应用 Chabauty-Coleman 方法确定 X(5,3)ρ 上所有有理点的集合？
• RQ4 在标准方法如 Chabauty-Coleman 失效时，可采用哪些计算技术来实际生成并验证此类模型？

主要发现

• 本文为由不可约四次多项式 f(X) = X⁴ - 3X² + 2X + 3 定义的伽罗华表示所对应的 X(5,3)ρ 提供了一个 ℚ 上的显式平面四次方程。
• 该模型由如下方程给出：-9XY(2X+Y)(9X+8Y) + 9(6X³ + 62X²Y + 66XY² + 15Y³)Z + 3(27X² - 104XY - 83Y²)Z² - 3(94X + 7Y)Z³ + 191Z⁴ = 0。
• 在无穷远处找到四个有理点：[0:1:0]、[1:0:0]、[1:-2:0] 和 [8:-9:0]，每个点对应一个实现表示 ϱ 的五次 ℚ-曲线。
• 相应 ℚ-曲线的 j-不变量被显式计算，分别为 j₁ = (−8√11)³(10 + 3√11)，j₂ = (6(110 + 31√11))³(10 + 3√11)，j₃ = (12(10 − √11))³(10 + 3√11)，以及 j₄ = (2(−6878815950 + 2118474913√11)/53⁵)³(10 + 3√11)。
• 雅可比簇 J(X(5,3)ρ) 的秩至少为三，这使得 Chabauty-Coleman 方法无法用于确定所有有理点。