[论文解读] Plurisubharmonic envelopes and supersolutions

Vincent Guedj, Chinh H. Lu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 32被引用 5

一句话总结

本论文证明了，对于复 Monge-Ampère 方程的粘性上解，其拟凸包络是拟势论上解，采用受 Berman 启发的扩展逼近方法。关键贡献是通过上解的包络，建立了一类新的解的存在性定理，该定理在存在有限能量下解时成立，且在具有奇点的流形上构造 Kähler-Einstein 度量方面具有应用。

ABSTRACT

We make a systematic study of (quasi-)plurisubharmonic envelopes on compact K\\"ahler manifolds, as well as on domains of $\\mathbb{C}^n$, by using and extending an approximation process due to Berman [Ber13]. We show that the quasi-psh envelope of a viscosity super-solution is a pluripotential super-solution of a given complex Monge-Amp\\`ere equation. We use these ideas to solve complex Monge-Amp\\`ere equations by taking lower envelopes of super-solutions.

研究动机与目标

• 阐明复 Monge-Ampère 方程的粘性上解与拟势论上解之间的关系。
• 将 Berman 的逼近方法扩展至更不规则的函数，包括有界 Borel 可测函数。
• 证明粘性上解的拟凸包络是同一复 Monge-Ampère 方程的拟势论上解。
• 在存在有限能量下解的条件下，通过上解的包络证明复 Monge-Ampère 方程解的存在性。
• 将结果应用于构造具有负第一陈类和半对数正则奇点的代数簇上的 Kähler-Einstein 度量。

提出的方法

• 通过求解具有指数加权测度的复 Monge-Ampère 方程，将 Berman 的逼近方案扩展至有界 Borel 可测函数。
• 将 $(\theta, \nu)$-包络 $P_{\theta,\nu}(v)$ 定义为所有满足 $\theta$-拟凸且 $\nu$-几乎处处有上界的函数的上包络的上正规化。
• 利用逼近解 $\varphi_j$ 在容量意义下的收敛性，证明定理 B。
• 应用粘性比较原理与逼近论证，证明粘性上解的包络是拟势论上解（定理 A）。
• 将解 $\varphi$ 构造为所有属于有限能量类 $\mathcal{E}(X,\omega)$ 的上解的包络，证明其满足 Monge-Ampère 方程（定理 C）。
• 建立广义容量的定量可比较性，以及有限能量泛函 $I_p$ 的拟三角不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 粘性上解的拟凸包络是否为同一复 Monge-Ampère 方程的拟势论上解？
• RQ2 Berman 的逼近方法能否扩展至非光滑、有界的 Borel 可测函数？
• RQ3 若存在有限能量下解，是否可通过包络构造方法保证复 Monge-Ampère 方程解的存在性？
• RQ4 粘性上解是否必然准连续，或可能表现出病态不连续性？
• RQ5 包络方法能否用于重新证明具有负 canonical 簇的奇点代数簇上 Kähler-Einstein 度量的存在性？

主要发现

• 粘性上解 $v$ 的拟凸包络 $P(v)$ 是同一复 Monge-Ampère 方程的拟势论上解。
• 求解 $(\omega + dd^c \varphi_j)^n = e^{j(\varphi_j - v)}\mu$ 的序列 $\varphi_j$ 即使在 $v$ 仅为有界 Borel 可测函数时，也收敛于容量意义下的 $(\omega,\mu)$-包络 $P_{\omega,\mu}(v)$。
• 当存在有限能量下解时，解 $\varphi = P(\inf\{\psi \in \mathcal{E}(X,\omega) \mid (\omega + dd^c \psi)^n \leq e^{\psi}\mu\})$ 是 $(\omega + dd^c \varphi)^n = e^{\varphi}\mu$ 的唯一解。
• 有限能量泛函 $I_p$ 对所有 $p > 0$ 满足拟三角不等式，推广了 [BBEGZ11] 的结果。
• 广义容量具有定量可比较性，推广了 [DNL15] 的结果。
• 在 $\mathbb{C}^2$ 上构造了一个有界但非准连续的粘性上解 $u$ 的例子，表明此类函数即使在局部也不必是准连续的。