[论文解读] Poincaré-Chetaev equations in the Dirac's formalism of constrained systems

Alexei A. Deriglazov|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2023

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 25被引用 5

一句话总结

本文为在李群流形上的受约束机械系统发展了一套狄拉克形式体系，引入了非典范相空间坐标，使泊松括号的构造无需显式计算狄拉克括号。对于 SO(3)，该形式体系导出庞加莱-切特耶夫方程，其通解可通过哈密顿向量场的指数映射表示。

ABSTRACT

We single out a class of Lagrangians on a group manifold, for which one can introduce non-canonical coordinates in the phase space, which simplify the construction of the Poisson structure without explicitly calculating the Dirac bracket. In the case of $SO(3)$\,- manifold, the application of this formalism leads to the Poincaré-Chetaev equations. The general solution to these equations is written in terms of exponential of the Hamiltonian vector field.

研究动机与目标

• 将狄拉克的受约束系统形式体系推广至弯曲流形上的机械系统，特别是李群流形。
• 识别一类在李群流形上可使非典范相空间坐标简化泊松括号构造的拉格朗日量。
• 证明庞加莱-切特耶夫方程可自然地从该形式体系中导出，适用于 SO(3) 及相关李群流形。
• 利用哈密顿向量场的指数映射，给出庞加莱-切特耶夫方程的通解。
• 表明该方法可在不显式计算狄拉克括号的同时，保持相空间的群结构。

提出的方法

• 使用带拉格朗日乘子的修正拉格朗日量来施加运动学约束 $ G_\alpha(q^A) = 0 $。
• 将狄拉克形式体系应用于无约束的哈密顿形式，识别一阶与二阶约束。
• 在相空间中引入非典范坐标 $ (x^i, \eta_i) $，其中 $ \eta_i $ 与李群流形的切空间相关。
• 直接从李群流形的李代数构造泊松括号结构，避免显式计算狄拉克括号。
• 利用哈密顿向量场生成时间演化，通过指数化得到通解。
• 验证与已知结果的一致性：对于 SO(3)，方程退化为刚体的欧拉-泊松方程。

实验结果

研究问题

• RQ1 狄拉克形式体系能否在不依赖局部坐标的情况下系统地应用于受约束于李群流形的机械系统？
• RQ2 在李群流形上，哪类拉格朗日量可使非典范相空间坐标简化泊松括号结构的构造？
• RQ3 庞加莱-切特耶夫形式体系是否能自然地从 SO(3) 及其他李群流形上的狄拉克受约束系统框架中导出？
• RQ4 庞加莱-切特耶夫方程的通解能否以哈密顿向量场指数的形式表达？
• RQ5 是否可能在不显式计算狄拉克括号的同时，保持约束曲面上的正确动力学？

主要发现

• 在李群流形上的一类拉格朗日量可采用非典范坐标 $ (x^i, \eta_i) $ 进行相空间表述，使群结构直接编码于泊松括号中。
• 对于 SO(3)，该形式体系重现了庞加莱-切特耶夫方程，其等价于刚体的欧拉-泊松方程。
• 庞加莱-切特耶夫方程的通解为 $ R(t) = \exp(t \mathcal{H}) \cdot R(0) $，其中 $ \mathcal{H} $ 为哈密顿向量场。
• 该解依赖于三个任意常数 $ M_{0k} $，对应于初始角动量，且对完整的旋转矩阵 $ R_{ij}(0) = \delta_{ij} $ 有效。
• 该方法通过利用李群流形的内在几何结构与李代数结构，避免了显式计算狄拉克括号。
• 该方法保持了全局有效性，并保留了原始变量 $ q^A $（如刚体动力学中旋转矩阵元素）的物理意义。