[论文解读] Poincaré duality for loop spaces

Kai Cieliebak, Nancy Hingston+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 5

一句话总结

本文在环路空间上建立了Rabinowitz Floer同调与上同调之间的Poincaré对偶性，证明其构成一个分次Frobenius代数。通过辛几何框架，统一了闭测地线、临界水平、Bott迭代和水平-幂次性等长期悬而未决的对偶结果，并证明了Sullivan关于环路乘积与余乘积之间关系的猜想。

ABSTRACT

We show that Rabinowitz Floer homology and cohomology carry the structure of a graded Frobenius algebra for both closed and open strings. We prove a Poincaré duality theorem between homology and cohomology that preserves this structure. This lifts to a duality theorem between graded open-closed TQFTs. We use in a systematic way the formalism of Tate vector spaces. Specializing to the case of cotangent bundles, we define Rabinowitz loop homology and cohomology and explain from a unified perspective pairs of dual results that have been observed over the years in the context of the search for closed geodesics. These concern critical levels, relations to the based loop space, manifolds all of whose geodesics are closed, Bott index iteration, and level-potency. Moreover, the graded Frobenius algebra structure gives meaning and proof to a relation conjectured by Sullivan between the loop product and coproduct.

研究动机与目标

• 解决弦拓扑中关于环路空间运算对称性与对偶性的长期悬而未决问题。
• 为闭测地线理论中的对偶结果（包括临界水平、Bott指标迭代和水平-幂次性）建立统一的框架。
• 证明Rabinowitz Floer同调与上同调构成一个保持对偶性的分次Frobenius代数。
• 为Chas-Sullivan环路乘积与Goresky-Hingston上同调乘积提供辛几何解释，表明二者为对偶结构。
• 在Rabinowitz Floer同调的背景下，通过对偶同构验证Sullivan关于环路乘积与余乘积关系的猜想。

提出的方法

• 引入Rabinowitz Floer同调作为Liouville域边界上的新代数结构，配备一个度数为$-n$的两管乘积。
• 通过两管乘积与对偶同构，证明Rabinowitz Floer同调具有分次Frobenius代数结构。
• 建立Rabinowitz Floer同调与上同调之间的Poincaré对偶同构，且该同构保持Frobenius代数结构。
• 专门化到余切丛，定义Rabinowitz环路同调与上同调，将辛不变量与环路空间拓扑联系起来。
• 利用联系辛同调、Rabinowitz Floer同调与普通辛同调的长正合列，推导出对偶结果。
• 应用Bott指标迭代与平均指标公式，关联同调与上同调中的临界水平，证明对偶不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 环路乘积（在$\Lambda$上定义）与环路余乘积（相对于常值环路定义）之间的不对称性，能否通过统一的代数结构解决？
• RQ2 上同调乘积$\oast$能否被严格解释为环路乘积$\bullet$的二级乘积？
• RQ3 是否存在一个统一的对偶性原理，能够解释闭测地线理论中成对出现的结果，如临界水平不等式与Bott指标迭代？
• RQ4 Sullivan所猜想的关系$\lambda\mu = (1\otimes\mu)(\lambda\otimes1) + (\mu\otimes1)(1\otimes\lambda)$是否在精确的代数设定下成立？
• RQ5 Rabinowitz Floer理论中同调与上同调之间的对偶性，能否提升为开-闭TQFT之间的对偶性？

主要发现

• Rabinowitz Floer同调与上同调构成一个分次Frobenius代数，且Poincaré对偶性保持该结构。
• 同调与上同调之间的对偶同构可提升为开-闭拓扑量子场理论之间的对偶性。
• 在余切丛情形下，该理论定义了Rabinowitz环路同调与上同调，统一了闭测地线的对偶结果。
• 临界水平不等式$\mathrm{Cr}(X\bullet Y)\leq\mathrm{Cr}(X)+\mathrm{Cr}(Y)$与$\mathrm{cr}(x\oast y)\geq\mathrm{cr}(x)+\mathrm{cr}(y)$均源于同一对偶性原理。
• Bott指标迭代公式由对偶性导出，表明对同调类（度数为$k$）有$\overline{\mathrm{ind}}(c) = k+n-1$，对上同调类有$\overline{\mathrm{ind}}(c) = k-n$。
• 通过Poincaré对偶性下的对偶同构，证明了Sullivan关于环路乘积与余乘积关系的猜想，其中余乘积作为乘积在Poincaré对偶下的对偶结构出现。