[论文解读] Poincare Duality at the Chain Level, and a BV Structure on the Homology of the Free Loops Space of a Simply Connected Poincare Duality Space

Thomas Tradler, Mahmoud Zeinalian|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2003

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems被引用 4

一句话总结

该论文在紧致、定向、可三角剖分的庞加莱对偶空间 X（维度为 d）的单纯链复形上建立了 A∞ 庞加莱对偶性结构。利用该结构，它在移位的 Hochschild 上同调 HH•(C•X, C•X)[d] 上构造了一个 BV 代数，当 X 是单连通时，该上同调同构于自由循环空间 LX 的同调 H•(LX)[d]，从而使得 H•(LX)[d] 获得一个 BV 结构。

ABSTRACT

We show that the simplicial chains, C•X, on a compact, triangulated, and oriented Poincaré duality space, X, of dimension d, can be endowed with an A ∞ Poincaré duality structure. Using this, we show that the shifted Hochschild cohomology, HH • (C • X, C•X)[d], of the cochain algebra, C • X, with values in the chains, C•X, has a BV structure. This is achieved by using the A ∞ Poincaré duality structure to obtain a particular vector space isomorphism between HH • (C • X, C • X), which carries a multiplication, ∪ , and HH • (C • X, C•X), which carries a ∆ operator. It is argued in [T2] that due to the particular properties of this isomorphism, the transport of the multiplication ∪ from the domain onto the range yields a BV structure on the shifted Hochschild cohomology HH • (C • X, C•X)[d]. For a simply connected space X, the Hochschild cohomology, HH • (C • X, C•X), of the cochain algebra with values in the chains, is identified [J] with the homology, H•(LX), of the free loop space. Thus, for a simply connected Poincaré duality space, X, the shifted homology H•(LX)[d] admits a BV structure. For a manifold M, Chas and

研究动机与目标

• 在紧致、定向、可三角剖分的庞加莱对偶空间 X 的单纯链复形 C•X 上构造 A∞ 庞加莱对偶性结构。
• 利用该 A∞ 结构证明移位的 Hochschild 上同调 HH•(C•X, C•X)[d] 携带一个 BV 结构。
• 当 X 是单连通时，将 Hochschild 上同调 HH•(C•X, C•X) 与自由循环空间 LX 的同调 H•(LX) 识别起来。
• 建立 H•(LX)[d] 从 C•X 上的 A∞ 庞加莱对偶性结构继承 BV 结构。
• 提供一个支持循环空间同调上 BV 代数结构的链复形水平对偶性的实现。

提出的方法

• 在紧致、定向、可三角剖分的庞加莱对偶空间 X 的单纯链复形 C•X 上赋予 A∞ 庞加莱对偶性结构。
• 利用该 A∞ 结构，定义 HH•(C•X, C•X) 与自身之间的一个特定向量空间同构，保持代数运算。
• 通过该同构将上杯积 ∪ 从定义域转移到上域，从而在移位的 Hochschild 上同调上诱导出一个乘法。
• 利用同构的性质，使移位的 Hochschild 上同调 HH•(C•X, C•X)[d] 获得一个 BV 算子 ∆。
• 利用已知的 HH•(C•X, C•X) 与 H•(LX) 在单连通 X 下的同构关系，将 BV 结构转移到 H•(LX)[d]。
• 利用 A∞ 庞加莱对偶性结构确保链复形水平对偶性与 BV 代数运算之间的相容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在庞加莱对偶空间的单纯链复形上赋予 A∞ 庞加莱对偶性结构？
• RQ2 当 C•X 携带 A∞ 庞加莱对偶性结构时，移位的 Hochschild 上同调 HH•(C•X, C•X)[d] 是否允许存在 BV 结构？
• RQ3 A∞ 庞加莱对偶性结构如何促进 BV 算子 ∆ 在移位的 Hochschild 上同调上的传递？
• RQ4 当 X 是单连通时，Hochschild 上同调 HH•(C•X, C•X) 与自由循环空间 LX 的同调 H•(LX) 之间有何关系？
• RQ5 对于单连通的庞加莱对偶空间，HH•(C•X, C•X)[d] 上的 BV 结构是否可下推至 H•(LX)[d] 上的 BV 结构？

主要发现

• 在紧致、定向、可三角剖分的庞加莱对偶空间 X（维度为 d）的单纯链复形 C•X 上，存在 A∞ 庞加莱对偶性结构。
• 移位的 Hochschild 上同调 HH•(C•X, C•X)[d] 携带一个 BV 结构，该结构通过一个将上杯积和 ∆-算子传递的同构构造而成。
• 当 X 是单连通空间时，Hochschild 上同调 HH•(C•X, C•X) 同构于自由循环空间 LX 的同调 H•(LX)。
• 因此，移位的同调 H•(LX)[d] 从 C•X 上的 A∞ 庞加莱对偶性结构继承了 BV 结构。
• H•(LX)[d] 上的 BV 结构源于链复形水平的 A∞ 庞加莱对偶性，为循环空间同调上的 BV 代数提供了几何实现。
• 该构造依赖于 Hochschild 上同调群之间同构的特定性质，确保了 ∪ 乘积与 ∆ 算子之间的相容性。