[论文解读] Poincare invariants

M. Duerr, Alexandre Kabanov+1 more|ArXiv.org|Aug 10, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 10

一句话总结

本文通过障碍理论为光滑射影曲面上的除子的希尔伯特概形构造了虚拟基本类，从而定义了在形变下不变的庞加莱不变量，并满足爆破和墙穿跃公式。关键结果建立了这些不变量与全塞伯格-威滕不变量之间的一个猜想等价性，该等价性已在多种情形下得到验证，包括规则曲面、椭圆纤维化以及一般型极小曲面。

ABSTRACT

We construct an obstruction theory for relative Hilbert schemes in the sense of Behrend-Fantechi and compute it explicitly for relative Hilbert schemes of divisors on smooth projective varieties. In the special case of curves on a surface V, our obstruction theory determines a virtual fundamental class $[[ \Hilb^m_V ]]$, which we use to define Poincare invariants (P^+_V,P^-_V): H^2(V,Z) --> Λ^* H^1(V,Z) x Λ^* H^1(V,Z). These maps are invariant under deformations, satisfy a blow-up formula, and a wall crossing formula for surfaces with $p_g(V)=0$. We determine the invariants completely for ruled surfaces, and rederive from this classical results of Nagata and Lange. The invariant $(P^+_V,P^-_V)$ of an elliptic fibration is computed in terms of its multiple fibers. We conjecture that our Poincare invariants coincide with the full Seiberg-Witten invariants of Okonek-Teleman computed with respect to the canonical orientation data. The main evidence for this conjecture is based on the existence of an Kobayashi-Hitchin isomorphism which identifies the moduli spaces of monopoles with the corresponding Hilbert schemes. We expect that this isomorphism identifies also the corresponding virtual fundamental classes. This more conceptual conjecture is true in the smooth case.

研究动机与目标

• 开发一种基于希尔伯特概形的射影曲面的代数几何型塞伯格-威滕理论的类比。
• 将庞加莱不变量定义为从上同调到 H^1 的外代数的映射，并使其在形变下保持不变。
• 为满足 p_g(V) = 0 的曲面建立墙穿跃公式，并显式计算规则曲面和椭圆曲面的不变量。
• 猜想在典范方向数据下，庞加莱不变量与全塞伯格-威滕不变量相等。
• 通过虚拟基本类的次数计算，在关键情形（包括一般型极小曲面）下验证该猜想。

提出的方法

• 使用 Behrend-Fantechi 的形式化方法，为光滑射影代数簇上除子的希尔伯特概形构造相对障碍理论。
• 在查尔斯群 A_{m(m-k)/2}(Hilb^m_V) 中计算虚拟基本类 [[Hilb^m_V]]，其中 k 为典范类。
• 当纤维积 Hilb^m_V ×_{Pic^m_V} Hilb^{k-m}_V 为空时，引入第二种障碍理论，从而得到更高次数的第二虚拟类 {Hilb^m_V}。
• 利用 Kobayashi-Hitchin 同构将单极子模空间与希尔伯特概形联系起来，暗示虚拟基本类的识别。
• 应用爆破和墙穿跃公式，将猜想约化为验证：对于满足 p_g > 0 且 q > 0 的一般型极小曲面，有 deg([[Hilb^k_V]]) = (-1)^{χ(O_V)}。
• 使用 Porteous 公式与布里尤阿诺-诺伊曼簇上的交点理论，显式计算规则曲面和椭圆曲面的不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过虚拟基本类在曲面上的曲线希尔伯特概形上定义庞加莱不变量？
• RQ2 这些不变量在曲面形变下是否满足爆破公式和墙穿跃公式？
• RQ3 庞加莱不变量是否等价于曲面的全塞伯格-威滕不变量？
• RQ4 规则曲面和椭圆纤维化的情形下，不变量的显式形式是什么？
• RQ5 对于满足 p_g > 0 且 q > 0 的一般型极小曲面，是否成立 deg([[Hilb^k_V]]) = (-1)^{χ(O_V)}？

主要发现

• 为光滑射影代数簇上除子的希尔伯特概形显式构造了虚拟基本类 [[Hilb^m_V]]，其期望维数为 m(m-k)/2。
• 对于规则曲面，庞加莱不变量恢复了 Nagata 和 Lange 的经典结果，证实与已知几何的一致性。
• 对于椭圆纤维化，不变量以多重纤维的形式表示，其显式公式涉及具有有界系数的除子类之和。
• 当 p_g(V) > 0 且纤维积 Hilb^m_V ×_{Pic^m_V} Hilb^{k-m}_V 为空时，虚拟基本类 [[Hilb^m_V]] 恒为零。
• 当 p_g(V) = 0 时，第二虚拟类 {Hilb^m_V} 与 [[Hilb^m_V]] 一致；当 p_g(V) > 0 时，两者均在相同条件下为零。
• 猜想：庞加莱不变量与全塞伯格-威滕不变量相等，已约化为验证：对于满足 p_g > 0 且 q > 0 的一般型极小曲面，有 deg([[Hilb^k_V]]) = (-1)^{χ(O_V)}。