[论文解读] Point processes of non stationary sequences generated by sequential and random dynamical systems

Ana Cristina Moreira Freitas, Jorge Milhazes Freitas+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2019

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 37被引用 9

一句话总结

本论文建立了非平稳动力系统中罕见事件的标记点过程收敛的充分条件，特别针对连续和随机动力系统。在满足淬火相关性衰减及极端值统计适当归一化等条件下，证明了面积超过阈值（AOT）和峰值超过阈值（POT）的标记点过程收敛于具有显式多重性分布的复合泊松过程。

ABSTRACT

We give general sufficient conditions to prove the convergence of marked point processes that keep record of the occurrence of rare events and of their impact for non-autonomous dynamical systems. We apply the results to sequential dynamical systems associated to uniformly expanding maps and to random dynamical systems given by fibred Lasota Yorke maps.

研究动机与目标

• 将极值理论扩展至非自治动力系统，其中平稳性不成立。
• 为跟踪连续和随机动力系统中罕见事件及其影响的标记点过程收敛性，建立一个通用框架。
• 推导出非平稳设定下复合泊松过程极限多重性分布的显式公式。
• 将理论应用于具体系统，包括一致扩张映射和纤维化Lasota-Yorke映射，验证条件并计算极限分布。

提出的方法

• 利用淬火相关性衰减，将罕见事件的标记点过程理论（MREPP）推广至非平稳、非自治系统。
• 引入关于系统不变测度和可观测量的条件，以确保收敛至复合泊松过程。
• 将该框架应用于具有均匀扩张映射的连续动力系统，验证相关性衰减和测度有界性。
• 使用Lebesgue微分定理计算尾概率比的极限，这对于推导多重性分布至关重要。
• 基于三种类型的可观测量（类型1：对数型，类型2：幂律型，类型3：有界型），推导出多重性分布 π(x) 的显式表达式。
• 在指数混合性和有限周期性假设下，通过依赖可观测量类型的归一化序列 an，建立AOT与POT过程的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非平稳动力系统中，罕见事件的标记点过程在何种条件下收敛？
• RQ2 当系统缺乏平稳性时，极端事件的极限分布如何表征？
• RQ3 在非自治系统中，极限复合泊松过程的多重性分布的显式形式是什么？
• RQ4 不同类型的可观测量（对数型、幂律型、有界型）如何影响AOT与POT过程的极限行为？
• RQ5 该理论框架能否应用于具体系统（如连续映射和纤维化Lasota-Yorke映射）以推导精确的极限定律？

主要发现

• 在给定条件下，AOT与POT标记点过程依分布收敛于强度为 θ = 1 的复合泊松过程。
• 对于类型1可观测量（g = −log x），多重性分布为 π(x) = 1 − e^−x，归一化序列为 an = h(un)^−1。
• 对于类型2可观测量（幂律型），π(x) = 1 − (1 + x)^−β，归一化序列为 an = un^−1。
• 对于类型3可观测量（有界型），π(x) = 1 − (1 − x)^γ，归一化序列为 an = (D − un)^−1。
• 收敛性通过淬火相关性衰减以及测度 μσ^iω(Un) 相对于Lebesgue测度 m(Un) 的界来建立。
• 证明表明，对于具有有限个周期块的典型 ω，其返回到 z 的小邻域的时间被统一的 ε > 0 隔开，从而可对误差项建立统一有界性。