[论文解读] Points on curves in small boxes en applications

Mei-Chu Chang, Javier Cilleruelo+4 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 17被引用 11

一句话总结

本文提出了新的解析技术，用于界定在大小为 $ M \times M $ 的小矩形区域内，多项式同余方程 $ y^2 \equiv f(x) \pmod{p} $ 和 $ y \equiv f(x) \pmod{p} $ 的解的数量，当 $ \deg f = 3 $ 时，对 $ M < p^{1/4 - \varepsilon} $ 获得了非平凡的上界；当 $ \deg f \geq 4 $ 时，对 $ M < p^{1/3 - \varepsilon} $ 获得非平凡上界。该方法被应用于推导出在小系数区域内，同构与非同构超椭圆曲线数量的近乎最优估计，并改进了受限于小区域的多项式动力系统轨迹长度的界。

ABSTRACT

We introduce several new methods to obtain upper bounds on the number of solutions of the congruences $f(x) \equiv y \pmod p$ and $f(x) \equiv y^2 \pmod p,$ with a prime $p$ and a polynomial $f$, where $(x,y)$ belongs to an arbitrary square with side length $M$. We use these results and methods to derive non-trivial upper bounds for the number of hyperelliptic curves $Y^2=X^{2g+1} + a_{2g-1}X^{2g-1} +...+ a_1X+a_0$ over the finite field $\F_p$ of $p$ elements, with coefficients in a $2g$-dimensional cube $ (a_0,..., a_{2g-1})\in [R_0+1,R_0+M] imes... imes [R_{2g-1}+1,R_{2g-1}+M]$ that are isomorphic to a given curve and give an almost sharp lower bound on the number of non-isomorphic hyperelliptic curves with coefficients in that cube. Furthermore, we study the size of the smallest box that contain a partial trajectory of a polynomial dynamical system over $\F_p$.

研究动机与目标

• 建立 $ y^2 \equiv f(x) \pmod{p} $ 和 $ y \equiv f(x) \pmod{p} $ 在任意 $ M \times M $ 矩形区域内的解数的非平凡上界，尤其关注小 $ M $ 的情形。
• 研究在边长为 $ M $ 的 $ 2g $-维盒子中， genus $ g \geq 1 $ 的超椭圆曲线的同构类的分布。
• 分析可包含多项式动力系统在 $ \mathbb{F}_p $ 上部分轨迹的最小盒子尺寸。
• 改进在小系数立方体内同构与非同构超椭圆曲线数量的已有界。

提出的方法

• 结合指数和估计、特征和技巧与加法组合学，提出新方法以界定小盒子中解的数量。
• 以 Weil 界为基准，通过新估计 $ y^2 \equiv f(x) \pmod{p} $ 在 $ M \times M $ 矩形区域内的解数，对之进行改进。
• 应用 Vinogradov 方法与指数和界，改进在 $ M < p^{1/4 - \varepsilon} $ 范围内三次多项式的结果。
• 利用伽罗瓦群结构与同源类，将同构曲线的数量与盒子中解数关联。
• 引入函数 $ T(\mathfrak{B}) $ 以估计系数盒子 $ \mathfrak{B} $ 中所有曲线的总解数，并用其推导非同构曲线数量的界。
• 利用柯西-施瓦茨不等式与解数的 $ L^2 $-范数估计，推导同源但非同构曲线数量的界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ M < p^{1/4} $ 时，曲线 $ y^2 \equiv f(x) \pmod{p} $ 在 $ M \times M $ 盒中最多可有多少个点？
• RQ2 在边长为 $ M $ 的 $ 2g $-维盒子中，有多少条 genus $ g \geq 1 $ 的超椭圆曲线与给定曲线同构？
• RQ3 可包含 $ \mathbb{F}_p $ 上多项式动力系统部分轨迹的盒子的最小尺寸是多少？
• RQ4 能否对小盒子中非同构超椭圆曲线的数量获得非平凡的下界？
• RQ5 小盒子中解数的界如何转化为超椭圆曲线的同源类与同构类的界？

主要发现

• 对于三次多项式，本文在 $ M < p^{1/4 - \varepsilon} $ 范围内，对解数 $ I_f(M; R, S) $ 建立了非平凡上界，优于此前结果。
• 对于次数 $ m \geq 4 $ 的多项式，该方法在 $ M < p^{1/3 - \varepsilon} $ 范围内获得非平凡界，扩展了先前工作。
• 在边长为 $ M $ 的 $ 2g $-维盒子中，与给定曲线同构的 genus $ g \geq 2 $ 超椭圆曲线数量被限制为 $ O(M^{2g}/p^{2g-1}) $，并获得了非同构曲线数量的近乎最优下界。
• 对于 $ g = 1 $，在边长为 $ M $ 的盒子中，非同构椭圆曲线的数量下界为 $ \gg \min\{p^{1/4}, M p^{-1/4} \log^{-1/2} M\} \cdot (\log p)^{-1/2} (\log \log p)^{-1} $。
• 在边长为 $ M $ 的盒子中，同源但非同构的椭圆曲线数量上界为 $ O(M^2 p^{-1/4} + p^{1/4} M \log^{1/2} M) \cdot (\log p)^{1/2} \log \log p $，在 $ p^{1/4 + \varepsilon} \leq M \leq p^{7/8 - \varepsilon} $ 范围内优于平凡界。
• 该方法对边长为 $ M $ 的 $ 2g $-维盒子中 genus $ g \geq 2 $ 的非同构超椭圆曲线数量给出了近乎最优的下界，表明其数量为 $ \gg \min\{p^{2g-1}, M^{2g}\} $。