[论文解读] Pointwise convergence along cubes for measure preserving systems

Idris Assani|ArXiv.org|Nov 17, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文在测度保持系统中，针对非交换变换，建立了沿立方体的多重遍历平均的逐点几乎处处收敛。对于三个有界函数及非交换测度保持变换 $T_1, T_2, T_3$，平均 $rac{1}{N^2} sum_{n,m=1}^N f_1(T_1^n x)f_2(T_2^m x)f_3(T_3^{n+m}x)$ 几乎处处收敛，且在弱混合条件下推广至 $2^k - 1$ 个函数。关键结果扩展了Khintchine的重复定理，并在弱混合系统中建立了返回时间的syndetic性。

ABSTRACT

Let $(X, \mathcal{B}, μ)$ be a probability measure space and $T_1$, $T_2$, $T_3$ three not necessarily commuting measure preserving transformations on $(X, \mathcal{B}, μ)$. We prove that for all bounded functions $f_1$, $f_2$, $f_3$ the averages $$\frac{1}{N^2}\sum_{n, m =1}^N f_1(T_1^nx)f_2(T_2^mx)f_3(T_3^{n+m}x)$$ converges a.e. Generalizations to averages of $2^k -1$ functions are also given for not necessarily commuting weakly mixing systems.

研究动机与目标

• 将逐点遍历定理扩展至多线性平均中非交换测度保持变换的情形。
• 研究当变换不交换时，沿立方体对 $2^k - 1$ 个函数是否存在逐点收敛。
• 将Khintchine的重复定理推广至非交换变换的系统。
• 利用多重遍历平均建立弱混合系统中返回时间的syndetic性。

提出的方法

• 使用一种新颖的 $L^2$-型不等式（引理1），通过指数和与三角多项式的上确界来控制平均的 $L^2$-范数。
• 应用平均遍历定理与条件期望技术，将函数分解为不变部分与振荡部分。
• 将平均分解为条件期望的乘积与一个误差项，证明误差在 $L^2$ 中趋于零。
• 利用 $ bb{Z}^k$ 中立方体的结构，定义具有嵌套位移的 $2^k - 1$ 个函数的多线性平均。
• 应用谱方法与正交性，证明当变换为弱混合时，平均收敛于积分的乘积。
• 利用若任一函数属于常数的正交补空间（$ bb{C}^\perp$），则平均趋于零的性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 沿立方体的多重遍历平均在非交换测度保持变换下是否具有逐点收敛性？
• RQ2 当变换不交换时，该收敛结果能否推广至 $k > 2$ 时的 $2^k - 1$ 个函数？
• RQ3 对于有界函数，在非交换 $T_1, T_2, T_3$ 下，平均 $rac{1}{N^2} sum_{n,m=1}^N f_1(T_1^n x)f_2(T_2^m x)f_3(T_3^{n+m}x)$ 的极限是什么？
• RQ4 在何种条件下，$2^k - 1$ 个函数的平均收敛于其积分的乘积？
• RQ5 在弱混合系统中，返回到正测度集合的时间集合是否为syndetic？

主要发现

• 对于任意有界函数 $f_1, f_2, f_3$ 及非交换测度保持变换 $T_1, T_2, T_3$，平均 $rac{1}{N^2} sum_{n,m=1}^N f_1(T_1^n x)f_2(T_2^m x)f_3(T_3^{n+m}x)$ 几乎处处收敛。
• 在弱混合系统中，沿 $k$-维立方体的 $2^k - 1$ 个有界函数的平均几乎处处收敛于其积分的乘积。
• 平均 $rac{1}{N^2} sum_{n,m=1}^N mathbf{1}_A(T_1^n x) mathbf{1}_A(T_2^{n+m}x)$ 的极限为 $ bb{E}( mathbf{1}_A, cal{I}_1)(x) bb{E}( mathbf{1}_A, cal{I}_2)(x)$，推广了Khintchine的重复定理。
• 若 $ cal{I}_1 \subset cal{I}_2$ 或 $ cal{I}_2 \subset cal{I}_1$，则测度平均的极限满足 $\geq \mu(A)^3$，推广了重复不等式。
• 在弱混合系统中，对任意 $\lambda < 1$，使得乘积指示函数超过 $\lambda \mu(A)^{2^k}$ 的 $k$-元组 $(n_1, \dots, n_k)$ 的集合是syndetic。