[论文解读] Pointwise double recurrence and nilsequences

Idris Assani|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2015

Analytic Number Theory Research参考文献 20被引用 7

一句话总结

该论文证明了对于任意测度保持系统及有界函数 $ f_1, f_2 $，加权双重遍历平均 $ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^{an}x)f_2(T^{bn}x)c_n $ 几乎处处对几乎所有 $ x $ 点态收敛，其中 $ c_n $ 为任意 $ k $-步尼尔序列。该结果将 Wiener-Wintner 定理推广至双重遍历情形，并将收敛性与 Host-Kra-Ziegler 因子的正交补联系起来，推广了 Bourgain 的带尼尔序列权重的双重遍历定理。

ABSTRACT

Consider a system $(X, \mathcal{F}, μ, T)$, bounded functions $f_1, f_2 \in L^\infty(μ)$ and $a,b \in \ZZ.$ We show that there exists a set of full measure $X_{f_1, f_2}$ in $X$ such that for all $x \in X_{f_1, f_2}$ and for every nilsequence $b_n$ , the averages \[ \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N f_1(T^{an}x)f_2(T^{bn}x)b_n \] converge. We will show that this can be deduced from the classical Wiener-Wintner theorem for the double recurrence theorem. Together with the past work on this subject, we will show that several statements regarding the extension of the double recurrence theorem are equivalent.

研究动机与目标

• 解决 B. Weiss 提出的关于 J. Bourgain 的带尼尔序列权重的双重遍历定理推广问题。
• 在一般测度保持系统中，建立带尼尔序列权重的双重遍历平均的点态收敛性。
• 证明对所有尼尔序列，收敛性几乎处处成立，并将结果与 Host-Kra-Ziegler 因子的结构联系起来。
• 统一并扩展先前的 Wiener-Wintner 与多项式双重遍历结果至尼尔序列设定。
• 证明当一个函数属于第 $ k $ 个 Host-Kra-Ziegler 因子的正交补时，收敛至零是均匀的。

提出的方法

• 以经典的 Wiener-Wintner 遍历定理作为单权重平均的基础工具。
• 将 Bourgain 的双重遍历定理作为关键成分，用于控制加权平均。
• 采用尼尔序列的概念，即在齐性空间 $ G/\Gamma $ 上基本尼尔序列的一致极限，以推广指数权重 $ e^{2\pi i p(n)} $。
• 应用一致 Wiener-Wintner 定理及其扩展，以处理频率或多项式上的上确界。
• 使用 van der Corput 引理的变体及涉及平移 $ h_1, h_2, h_3 $ 的多重平均的 $ L^2 $-型估计，以控制平均的上极限。
• 应用控制收敛定理与逼近论证，通过稠密性将结果从连续函数扩展至 $ L^\infty $ 函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ c_n $ 为尼尔序列时，双重遍历平均 $ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^{an}x)f_2(T^{bn}x)c_n $ 是否对几乎所有 $ x $ 点态收敛？
• RQ2 该收敛结果能否超越指数与多项式权重，推广至一般尼尔序列？
• RQ3 Host-Kra-Ziegler 因子在确保当一个函数属于其正交补时收敛至零的均匀性中起何作用？
• RQ4 尼尔斯ystem的结构如何与带尼尔序列权重的多重遍历平均的收敛性相关？
• RQ5 该收敛结果在 $ L^\infty $ 范数下是否稳定？能否推广至一般有界函数？

主要发现

• 对于任意系统 $ (X,\mathcal{F},\mu,T) $，有界函数 $ f_1, f_2 \in L^\infty(\mu) $，以及任意 $ k $-步尼尔序列 $ c_n $，存在一个全测度集 $ X_{f_1,f_2} $，使得对所有 $ x \in X_{f_1,f_2} $，平均 $ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N f_1(T^{an}x)f_2(T^{bn}x)c_n $ 收敛。
• 若 $ T $ 是遍历的，且 $ f_1 $ 或 $ f_2 $ 属于第 $ k $ 个 Host-Kra-Ziegler 因子 $ \mathcal{Z}_k^\perp $ 的正交补，则对所有 $ k $-步尼尔序列，平均一致收敛至零。
• 通过将平均分解为涉及平移 $ h_1, h_2, h_3 $ 的多重遍历平均，再结合 $ L^2 $-估计与上极限控制，建立了平均的收敛性。
• 该方法导出了如下估计：$ \int\int \limsup_H \sup_t \left| \frac{1}{H}\sum_{h_1=0}^{H-1} V_1(T^{an}x)V_2(T^{bn}y)e^{2\pi i h_1 t} \right|^2 d\mu\otimes\mu \lesssim_{a,b} \min(\|V_1\|_3, \|V_2\|_3)^2 $，该估计控制了误差项的增长。
• 当 $ k \geq 3 $ 时，证明通过归纳法进行，表明三重平均的上极限有界于 $ \min(\|g_1\|_4, \|g_2\|_4) $，且当 $ g_1 $ 或 $ g_2 $ 属于 $ \mathcal{Z}_{k-1}^\perp $ 时趋于零。
• 通过逼近，该结果对一般 $ L^\infty $ 函数成立，因为连续函数的收敛性可推出 $ L^\infty $-有界情形下的收敛性。