[论文解读] Poisson Bracket and Symplectic Structure of Covariant Canonical Formalism of Fields

Yasuhito Kaminaga|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2017

Advanced Differential Geometry Research参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于场的协变正则形式化的新型泊松括号与辛结构，其中正则变量是流形上的微分形式。通过在可微微分形式代数上定义一个分次泊松括号，作者建立了一个明显具有洛伦兹对称性与规范对称性的哈密顿框架，该框架推广了传统力学，并为包括引力和规范理论在内的场论提供了几何基础。

ABSTRACT

The covariant canonical formalism is a covariant extension of the traditional canonical formalism of fields. In contrast to the traditional canonical theory, it has a remarkable feature that canonical equations of gauge theories or gravity are not only manifestly Lorentz covariant but also gauge covariant or diffeomorphism covariant. A mathematical peculiarity of the covariant canonical formalism is that its canonical coordinates are differential forms on a manifold. In the present paper, we find a natural Poisson bracket of this new canonical theory, and study symplectic structure behind it. The phase space of the theory is identified with a ringed space with the structure sheaf of the graded algebra of "differentiable" differential forms on the manifold. The Poisson and the symplectic structure we found can be even or odd, depending on the dimension of the manifold. Our Poisson structure is an example of physical application of Poisson structure defined on the graded algebra of differential forms.

研究动机与目标

• 开发一种经典场论的明显协变哈密顿形式化，使空间与时间处于同等地位。
• 克服传统正则形式化的局限性，后者在规范理论与引力理论中需要规范固定或狄拉克括号。
• 在微分形式代数上定义一个自然泊松括号作为正则变量，保持洛伦兹对称性与规范对称性。
• 利用微分形式与分次几何，建立协变正则形式化背后的辛结构。
• 证明所得泊松结构与哈密顿方程一致，并满足分次雅可比恒等式。

提出的方法

• 采用微分形式作为正则变量，而非张量分量，以实现明显的协变性。
• 通过变分法与楔积结构，定义一个微分形式相对于另一个微分形式的导数。
• 通过从拉格朗日 $ n $-形式 $ L $ 的勒壤得变换，引入哈密顿 $ n $-形式 $ H $，使用共轭动量 $ p_a, \pi_\alpha $。
• 通过取 $ H $ 的泛函导数，推导出协变正则运动方程，确保洛伦兹对称性与规范对称性。
• 在微分形式空间上构造一个辛形式 $ \bm{\omega} $，为每个函数 $ f $ 引入一个哈密顿向量场 $ \bm{X}_f $。
• 将泊松括号定义为 $ \{f,g\} = -\mathcal{L}_{\bm{X}_f}g = -\langle \bm{X}_f, \bm{X}_g; \bm{\omega} \rangle $，从而得到一个 $ \mathbb{Z}_2 $-分次李代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正则变量为微分形式的协变正则形式化中，如何一致地定义泊松括号？
• RQ2 以微分形式表述的协变哈密顿场论的动力学背后，其辛结构是什么？
• RQ3 所提出的泊松括号如何在场论中保持洛伦兹对称性与规范（或微分同胚）对称性？
• RQ4 微分形式代数上的泊松括号具有何种分次代数结构（例如，雅可比恒等式、莱布尼茨法则）？
• RQ5 能否使用此形式化在不进行规范固定或使用狄拉克括号的情况下，推导出规范理论与引力的正则方程？

主要发现

• 在可微微分形式代数上定义了一个自然泊松括号，其中 $ \{f,g\} = -\mathcal{L}_{\bm{X}_f}g $，该括号满足分次反对称性与雅可比恒等式。
• 泊松括号具有 $ \mathbb{Z}_2 $-分次度数 $ |\{f,g\}| = |f| + |g| + n + 1 \mod 2 $，反映了形式化的分次性质。
• 通过在微分形式空间上构造一个非退化、闭合且分次对称的 2-形式 $ \bm{\omega} $，建立了辛结构。
• 哈密顿向量场 $ \bm{X}_f $ 通过 $ i_{\bm{X}_f}\bm{\omega} = \bm{d}f $ 定义，泊松括号由此产生为 $ \{f,g\} = -\mathcal{L}_{\bm{X}_f}g $。
• 映射 $ f \mapsto \bm{X}_f $ 是一个 $ \mathbb{Z}_2 $-分次李代数同态，满足 $ \bm{X}_{\{f,g\}} = -[\bm{X}_f, \bm{X}_g] $。
• 该形式化可导出明显具有洛伦兹对称性与规范对称性的运动方程，适用于规范理论与引力，且无需规范固定或狄拉克括号。