[论文解读] Reconsideration of De Donder-Weyl theory by covariant analytic mechanics

Satoshi Nakajima|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2016

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文建立了协变解析力学（CAM）与改进版德东德-外尔（DW）理论之间的严格等价性，修正了原始DW形式体系在规范场和引力场中的根本性缺陷。通过将CAM的基于微分形式的正则方程改写为张量分量形式，作者证明其与修正后的DW方程一致，并进一步提出一种修改后的哈密顿形式体系，仅以旋量场作为独立变量，正确推导出狄拉克方程。

ABSTRACT

We show that the covariant analytic mechanics (CAM) is closely related to the De Donder-Weyl (DW) theory. To treat space and time on an equal footing, the DW theory introduces $D$ conjugate fields ($D$ is the dimension of space-time) for each field and the CAM regards the differential forms as the basic variables. The generalization of the canonical equations is called the DW equations. Although one of the DW equations is not correct for the gauge field and the gravitational field, we show the way to improve it. By rewriting the canonical equations of the CAM, which are manifestly general coordinate covariant and gauge covariant, using the components of the tensors, we show that these are equivalent to the improved DW equations. Additionally, we investigate the Dirac field. We present a modified Hamilton formalism which regards only the Dirac fields as the basic variables and show that it provides the Dirac equations correctly.

研究动机与目标

• 解决原始德东德-外尔（DW）理论在应用于规范场和引力场时存在的不一致性问题，其根源在于共轭动量对称性处理不当，导致其中一个正则方程失效。
• 证明使用微分形式作为基本变量的协变解析力学（CAM）框架与修正后的DW理论版本等价。
• 发展并验证一种适用于狄拉克场的修改后哈密顿形式体系，仅将旋量场视为独立变量，避免引入虚假约束，并正确重现狄拉克方程。
• 阐明CAM与原始DW理论中泊松括号的区别，表明CAM基于微分形式的括号结构可避免由张量分量表述引发的不一致性。

提出的方法

• 将原本以微分形式表达的CAM正则方程，通过场与共轭动量的张量表示，改写为分量形式。
• 识别原始DW方程中的缺陷：对于张量场（如规范场和引力场）而言，假设多动量在所有时空指标上相互独立的假设不成立。
• 通过强制共轭动量的完全反对称性，引入基于约束的修正，从而导出改进后的DW方程。
• 证明CAM正则方程的分量形式与改进后的DW方程完全一致，从而在一般坐标变换与规范协变性下确立二者之间的严格等价性。
• 通过引入拉格朗日乘子处理约束，将CAM形式体系应用于狄拉克场，进而推导出一种仅将旋量场视为独立变量的修改后哈密顿形式体系。
• 通过变分计算验证修改后哈密顿形式体系的正确性，确认其与旋量场区段的欧拉-拉格朗日方程一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何原始德东德-外尔理论在描述规范场和引力场时失效？其正则方程中的错误具体性质是什么？
• RQ2 能否通过分量形式的重述，证明协变解析力学（CAM）框架与修正后的德东德-外尔理论版本等价？
• RQ3 如何在显式协变哈密顿形式体系中一致地处理狄拉克场——该场以第一类约束和费米子特性著称？
• RQ4 微分形式与张量分量在定义泊松括号时分别起什么作用？为何CAM方法能避免原始DW形式体系中的不一致性？
• RQ5 能否构建一种修改后的哈密顿形式体系，仅将狄拉克旋量场视为独立变量，同时仍能正确重现动力学行为？

主要发现

• 原始德东德-外尔理论因未能在时空指标上强制共轭动量的完全反对称性，导致规范场与引力场的方程存在错误。
• 通过在多动量上施加反对称性约束，作者推导出一组改进后的DW方程，其与理论的正则结构保持一致。
• 协变解析力学（CAM）中正则方程的分量形式与改进后的DW方程在数学上完全等价，从而确立了CAM与修正后DW形式体系之间的严格等价性。
• CAM中基于微分形式的泊松括号结构避免了原始DW理论中因使用张量分量而引发的不一致性，后者可能导致错误的动力学行为。
• 一种仅将旋量场视为独立变量的修改后狄拉克场哈密顿形式体系，能正确重现狄拉克方程，验证了该方法的一致性。
• 推导结果表明，当仅对独立旋量场进行变分时，狄拉克方程自然地从哈密顿形式中导出，而共轭形式则为依赖变量。