[论文解读] Poisson deformations and Mori dream spaces

Yoshinori Namikawa|arXiv (Cornell University)|May 8, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文建立了仿射辛簇 $ X $ 的一个 $ \mathbb{C}^* $-作用下其典范解析 $ Y \to X $ 的第二上同调群 $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ 中的墙与腔结构，与 $ Y $ 的普遍 Poisson 变形的基空间之间的深层对应关系。结果表明，当变形后的 Poisson 代数簇不再为仿射时，其对应的 locus $ D \subset H^2(Y, \mathbb{C}) $ 恰好与不同典范解析的充分线丛锥所定义的墙完全一致，从而统一了 Mori dream 空间理论的几何与形变理论视角。

ABSTRACT

Let \pi: Y -> X be a crepant projective resolution of an affine symplectic variety X with a good C^*-action. We interpret the second cohomology H^2(Y, C) in two ways. First, H^2(Y, C) is the Picard group of Y tensorised with C. By the ample cones of different crepant resolutions of X, there is a natural chamber structure in H^2(Y, C). The second interpretation of H^2(Y, C) is the base space of the universal Poisson deformation $\mathcal Y$ of Y. Let D \subset H^2(Y, C) be the locus where the corresponding Poisson varieties are not affine. Then D is the union of finite number of hyperplanes, which gives a chamber structure in H^2(Y, C). These two chamber structures coincide.

研究动机与目标

• 理解具有 $ \mathbb{C}^* $-作用的仿射辛簇的典范解析的几何与其形变理论之间的相互作用。
• 比较 $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ 上的两种自然腔结构：一种源自 $ X $ 的不同典范解析的充分线丛锥，另一种源自 $ Y $ 的普遍 Poisson 变形的基空间。
• 在 Poisson 变形中的非仿射性 locus 与上同调中的墙与腔结构之间建立精确对应关系。
• 通过 Poisson 变形理论提供 Mori dream 空间结构的几何实现。

提出的方法

• 将 $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ 解释为 $ Y $ 的复化 Picard 群，其参数化线丛及其形变。
• 利用 $ \mathbb{C}^* $ 在 $ X $ 上的作用，通过不同典范解析的充分线丛锥在 $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ 上定义自然的腔分解。
• 构造 $ Y $ 的普遍 Poisson 变形 $ \mathcal{Y} $，其基空间为 $ H^2(Y, \mathbb{C}) $，并分析其纤维。
• 识别 $ \mathcal{Y} $ 的纤维不是仿射 Poisson 代数簇的 locus $ D \subset H^2(Y, \mathbb{C}) $。
• 证明 $ D $ 是有限个超平面的并集，从而在 $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ 上形成腔结构。
• 证明该 Poisson 理论腔结构与来自 $ X $ 的不同典范解析的充分线丛锥所定义的腔结构完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 由 $ X $ 的不同典范解析的充分线丛锥所定义的腔结构如何与 $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ 的几何相关联？
• RQ2 在 $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ 中，普遍 Poisson 变形的纤维不再为仿射的 locus 具有何种几何意义？
• RQ3 能否通过 Poisson 变形理论实现来自典范解析的 $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ 的腔分解？
• RQ4 Mori dream 空间理论中的墙与腔结构与 Poisson 变形模空间中的墙与腔结构之间是否存在自然的同构？

主要发现

• 第二上同调群 $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ 拥有两种不同的腔结构：一种源自 $ X $ 的不同典范解析的充分线丛锥，另一种源自 $ Y $ 的普遍 Poisson 变形的基空间。
• 当普遍变形中的 Poisson 代数簇非仿射时，其对应的 locus $ D \subset H^2(Y, \mathbb{C}) $ 是有限个超平面的并集，形成墙与腔的分解。
• 该 Poisson 理论腔结构与由 $ X $ 的不同典范解析的充分线丛锥所定义的腔结构完全一致。
• 这两种腔结构的识别为通过 Poisson 变形理论对 $ X $ 上的 Mori dream 空间结构提供了新的几何解释。
• 该结果在存在 $ \mathbb{C}^* $-作用的条件下，建立了辛解析理论与 Poisson 变形模空间之间的自然联系。