[论文解读] Poisson Group Testing: A Probabilistic Model for Boolean Compressed Sensing

Amin Emad, Olgica Milenković|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2014

SARS-CoV-2 detection and testing参考文献 45被引用 8

一句话总结

本文提出了泊松群测试（Poisson group testing），一种用于布尔压缩感知的概率模型，其中缺陷品数量服从参数为 λ(n) = o(n) 的右截断泊松分布。该文提出了非自适应和半自适应的测试矩阵构造方法，可在 m = 2(β(n)λ(n))^{1+γ}(log n + τβ²(n)log²(β(n)λ(n))) 次测试内实现误差概率趋于零，其测试次数与信息论下限仅相差常数因子。

ABSTRACT

We introduce a novel probabilistic group testing framework, termed Poisson group testing, in which the number of defectives follows a right-truncated Poisson distribution. The Poisson model has a number of new applications, including dynamic testing with diminishing relative rates of defectives. We consider both nonadaptive and semi-adaptive identification methods. For nonadaptive methods, we derive a lower bound on the number of tests required to identify the defectives with a probability of error that asymptotically converges to zero; in addition, we propose test matrix constructions for which the number of tests closely matches the lower bound. For semi-adaptive methods, we describe a lower bound on the expected number of tests required to identify the defectives with zero error probability. In addition, we propose a stage-wise reconstruction algorithm for which the expected number of tests is only a constant factor away from the lower bound. The methods rely only on an estimate of the average number of defectives, rather than on the individual probabilities of subjects being defective.

研究动机与目标

• 开发一种新颖的概率群测试框架，适用于动态和流式测试场景，其中缺陷品的相对比例随时间减少。
• 使用参数为 λ(n) = o(n) 的右截断泊松分布对缺陷品数量进行建模，以支持临床检测和DNA筛查等应用。
• 推导在非自适应和半自适应测试下，可靠识别缺陷品所需测试次数的信息论下限。
• 提出测试矩阵构造方法和解码算法，使误差概率收敛至零，且测试开销最小化。

提出的方法

• 使用参数为 λ(n) = o(n) 的右截断泊松分布对缺陷品数量进行建模，以捕捉随时间减少的相对缺陷率。
• 对于非自适应测试，构造具有独立同分布伯努利(p)元素的测试矩阵，其中 p = ⌈β(n)λ(n)⌉^{-(1+γ)}，且 γ > 0 极小。
• 应用大偏差界和切尔诺夫型不等式，对识别缺陷品的误差概率进行上界估计。
• 采用最大似然解码，并通过矩生成函数和基于熵的分析推导误差概率的界。
• 对于半自适应测试，设计一种分阶段重构算法，根据先前结果自适应地选择测试。
• 推导期望测试次数的下界，并证明所提算法在常数因子范围内达到该下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用右截断泊松分布有效建模具有时变缺陷率的概率群测试模型？
• RQ2 在该泊松模型下，非自适应识别缺陷品所需测试次数的信息论下限是多少？
• RQ3 如何设计测试矩阵构造方法，以实现接近最优的测试复杂度并使误差概率趋于零？
• RQ4 半自适应算法所需的期望测试次数是多少？其与理论下限的接近程度如何？
• RQ5 该方法是否仅依赖于缺陷品的平均数量，而无需个体缺陷概率的估计？

主要发现

• 本文建立了非自适应测试构造方法，对任意 γ > 0 和 τ > 0，可在 m = 2(β(n)λ(n))^{1+γ}(log n + τβ²(n)log²(β(n)λ(n))) 次测试内实现误差概率趋于零。
• 所需测试次数与信息论下限仅相差常数因子，且当 n → ∞ 时误差概率收敛至零。
• 对于半自适应测试，所提的分阶段算法在期望测试次数上与理论下限保持常数因子关系。
• 误差概率 Pe2（对应大量缺陷品的情况）通过泊松尾部的切尔诺夫界被证明为 o(1)。
• 分析表明，通过选择 m ≥ (2 + δ(n))h(n)^{1+γ} log n，其中 δ(n) = ϵ(1+ϵ)^2(1+γ)^2β(n)log³λ(n)/log n，可使 Pe1（小规模缺陷品的误差概率）变为 o(1)。
• 该方法仅需缺陷品平均数量的估计，无需个体缺陷概率的估计，因此在实际应用中具有鲁棒性和实用性。