[论文解读] Poisson summation formula and Box splines

Michèle Vergne|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2013

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文利用泊松求和公式，为具有复参数的盒样条建立了一个广义去卷积公式，将达门-米切尔逆公式推广至平移和参数化的盒样条。主要贡献是在晶格的通用区域中，通过托德算子统一重构离散函数，使其从与参数化盒样条的卷积中恢复，适用于哈密顿几何中的科斯坦分拆函数和杜斯特马特-赫克曼测度。

ABSTRACT

We generalize Dahmen-Micchelli deconvolution formula for Box splines with parameters. Our proof is based on identities for Poisson summation of rational functions with poles on hyperplanes.

研究动机与目标

• 将达门-米切尔去卷积公式推广至具有复参数的盒样条及其平移形式。
• 建立从参数化盒样条卷积中统一重构晶格上离散函数的公式。
• 将去卷积公式应用于哈密顿几何中的科斯坦分拆函数和杜斯特马特-赫克曼测度。
• 通过留数理论与锥分解技术，提供分拆函数生成函数恒等式的全新证明。

提出的方法

• 利用泊松求和公式，将盒样条的傅里叶变换与其在晶格上的离散和相关联。
• 通过在单位立方体上进行带权重的积分，并引入指数因子 $ e^{i t_k y_k} $，引入参数化盒样条 $ B(\nabla, \mathbf{y}) $。
• 应用托德算子 $ \mathrm{Todd}(\nabla, \partial) $，其定义为微分算子的无穷级数，用于从卷积中恢复原始离散函数。
• 利用解析延拓与通过 $ \lambda + t\epsilon $（其中 $ t \to 0^+ $）的正锥中的一般向量 $ \epsilon $ 进行的正则点逼近。
• 利用区域分解与解析延拓，在扩展区域 $ \tau - Z(\Phi) $ 上定义分段解析函数 $ T^\tau(\Phi, \mathbf{y}) $。
• 通过留数理论与锥分解技术进行证明，表明其与分拆函数生成函数的已知结果等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将达门-米切尔去卷积公式推广至具有复参数 $ \mathbf{y} $ 的盒样条？
• RQ2 能否从平移和参数化盒样条的卷积中导出晶格上离散函数的统一重构公式？
• RQ3 科斯坦分拆函数的生成函数与参数化盒样条傅里叶变换之间有何关系？
• RQ4 去卷积公式如何推广至晶格中平移的多面体与扩展区域的情形？
• RQ5 能否从参数化盒样条卷积中恢复达门-米切尔拟多项式空间的结构？

主要发现

• 去卷积公式 $ m(\lambda) = \lim_{t \to 0^+} \mathrm{Todd}(\nabla, \partial) b(\mathbf{y}, m)(\lambda + t\epsilon) $ 对所有 $ \lambda \in \Lambda \cap \Delta $ 均一致成立，其中 $ \Delta $ 是多面体的通用平移。
• 当 $ \mathbf{y} = 0 $ 时，函数 $ b(0, m) $ 在区域 $ \Omega $ 上为多项式，当且仅当 $ m $ 在 $ \Omega - Z(\nabla) $ 上为多项式，建立了多项式性区域之间的对偶性。
• 科斯坦分拆函数 $ \mathrm{Trace}_{S_\nu}(e^{i\mathbf{y}}) $ 在每个扩展区域 $ \tau - Z(\nabla) $ 上由解析函数给出，表达式为托德算子作用于多分段样条 $ T^\tau(\Phi, \mathbf{y}) $ 的解析延拓。
• 公式 $ \mathrm{Trace}_{S_\nu}(e^{i\mathbf{y}}) = \sum_{s \in \mathcal{V}} s^{-\nu} \left( \mathrm{Todd}([q], \mathbf{y}, s)(\partial) T^\tau(\Phi, \mathbf{y}) \right)|_{q=1} $ 提供了分拆函数生成函数恒等式的全新证明。
• 达门-米切尔拟多项式空间 $ DM(\nabla) $ 由函数 $ Q(\mathfrak{c}) $ 生成，其满足 $ Q(\mathfrak{c})(\nu) = 1 $ 当 $ \nu = 0 $，且 $ 0 $ 当 $ \nu \in (\mathfrak{c} - Z(\nabla)) \cap \Lambda $，确认了在基本域中的唯一性。