[论文解读] Poly: An abundant categorical setting for mode-dependent dynamics

David I. Spivak|arXiv (Cornell University)|May 5, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文提出多项式函子类别 𝖯𝗈𝗅𝗒，作为建模模式依赖动力系统（即其布线图与接口随内部状态变化的系统）的自然且结构丰富的范畴论框架。它表明 𝖯𝗈𝗅𝗒 支持多种相互作用的张量结构，包括复合与张量积，并证明这些结构的余代数自然地建模动力系统，其中模式依赖性源于该范畴固有的范畴论丰富性。

ABSTRACT

Dynamical systems---by which we mean machines that take time-varying input, change their state, and produce output---can be wired together to form more complex systems. Previous work has shown how to allow collections of machines to reconfigure their wiring diagram dynamically, based on their collective state. This notion was called "mode dependence", and while the framework was compositional (forming an operad of re-wiring diagrams and algebra of mode-dependent dynamical systems on it), the formulation itself was more "creative" than it was natural. In this paper we show that the theory of mode-dependent dynamical systems can be more naturally recast within the category Poly of polynomial functors. This category is almost superlatively abundant in its structure: for example, it has \emph{four} interacting monoidal structures $(+, imes,\otimes,\circ)$, two of which ($ imes,\otimes$) are monoidal closed, and the comonoids for $\circ$ are precisely categories in the usual sense. We discuss how the various structures in Poly show up in the theory of dynamical systems. We also show that the usual coalgebraic formalism for dynamical systems takes place within Poly. Indeed one can see coalgebras as special dynamical systems---ones that do not record their history---formally analogous to contractible groupoids as special categories.

研究动机与目标

• 为具有时变接口和布线模式的动力系统建模提供一个自然且结构丰富的范畴论环境。
• 通过将其嵌入更基础且更丰富的范畴中，解决先前针对模式依赖动力学的临时性操作框架的局限性。
• 证明多项式函子类别 𝖯𝗈𝗅𝗒 为静态与动态系统组合提供统一且可组合的设置。
• 表明标准的动力系统余代数形式化自然嵌入于 𝖯𝗈𝗅𝗒 中，且模式依赖性源于该范畴的内部结构。

提出的方法

• 本文以集合上的多项式函子范畴 𝖯𝗈𝗅𝗒 作为基础设定，利用其丰富的范畴论结构。
• 识别出 𝖯𝗈𝗅𝗒 中的关键张量结构——即 (+, ×, ⊗, ∘)，并证明 × 和 ⊗ 是张量闭的，从而支持内部同态与函数空间。
• 确立 𝖯𝗈𝗅𝗒 中复合结构 ∘ 的余群对象恰好是标准意义上的范畴，从而将范畴论与系统组合联系起来。
• 将动力系统建模为多项式函子上的余代数，证明余代数形式化在 𝖯𝗈𝗅𝗒 内部自然成立。
• 将布线图形式化为 𝖯𝗈𝗅𝗒 中的态射，其中模式依赖系统由接口随状态变化的非单项式多项式表示。
• 利用 𝖯𝗈𝗅𝗒 中乘积的泛性质，通过范畴论极限与泛构造实现动力系统的自然叠加与组合，包括上下文依赖的系统。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以一种组合化且结构自然的方式形式化模式依赖动力学——即系统接口与布线随内部状态变化？
• RQ2 在接口不固定的情况下，动力系统组合的范畴结构基础是什么？
• RQ3 能否将动力系统余代数形式化自然地嵌入一个更丰富的范畴框架中，同时支持模式依赖性？
• RQ4 多项式函子范畴中的多种张量结构在建模系统交互与重构中起什么作用？
• RQ5 多项式函子范畴如何在一个统一的形式化中统一静态布线图、动态重构与系统组合？

主要发现

• 范畴 𝖯𝗈𝗅𝗒 支持四种相互作用的张量结构：(+, ×, ⊗, ∘)，其中 × 和 ⊗ 是张量闭的，支持函数空间与内部同态。
• 𝖯𝗈𝗅𝗒 中复合结构 ∘ 的余群对象恰好是标准意义上的范畴，从而将范畴论与系统组合联系起来。
• 以多项式函子上的余代数建模的动力系统自然嵌入于 𝖯𝗈𝗅𝗒 中，余代数形式化捕捉不记录历史的系统。
• 模式依赖系统由非单项式多项式如 𝒚^A₁A₂ + 𝒚 + B𝒚 表示，其中接口类型随内部状态变化。
• 布线图（包括具有动态重构的）被形式化为 𝖯𝗈𝗅𝗒 中的态射，Dirichlet 乘积支持系统的并置。
• 𝖯𝗈𝗅𝗒 中乘积的泛性质使得即使在接口依赖上下文的情况下，也能自然地叠加与组合动力系统。